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圏論好き集まれ

1 :132人目の素数さん:2010/12/15(水) 00:21:30
圏論好きな人いる?

2 :猫はなりすまし ◆MuKUnGPXAY :2010/12/15(水) 00:21:51



3 :132人目の素数さん:2010/12/15(水) 00:28:36
ねこ?

4 :132人目の素数さん:2010/12/15(水) 00:29:37
「対象」とよばれるモノ( = 数学的な対象 )のクラスと対象 X から Yへの
「射(morphism)」とよばれる要素からなる集合 Hom(X, Y) が指定されていて、f ∈ Hom(X, Y)
と g ∈ Hom(Y, Z) に対してはその「合成」とよばれる射 gf が定められていて、以下の3条件を
満たしているときこれらの総合概念 C を 圏(category)とよぶ。

 (Cat 1) 射の合成は結合法則 h(gf) = (hg)f をみたす.
 (Cat 2) 任意の対象 X に対して ∃ε∈Hom(X, X) ∀f∈Hom(X, Y)∀g∈ Hom(Z, X), fε=f, εg=g
 (Cat 3) 対象のペア (X, Y), (X', Y') が異なる ⇒ Hom(X, Y) ∩ Hom(X', Y') = φ



5 :猫はCat ◆MuKUnGPXAY :2010/12/15(水) 00:31:42



6 :132人目の素数さん:2010/12/15(水) 09:59:26
圏同値と圏双対の定義調べてもでてこないwwww
知ってる人いる?

7 :132人目の素数さん:2010/12/15(水) 10:21:46
ほれ、読め。つ http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf

8 :132人目の素数さん:2010/12/15(水) 13:10:49
見れないぞい

9 :132人目の素数さん:2010/12/15(水) 17:24:15
おもいだけだ。500ページあるからね。

10 :132人目の素数さん:2010/12/15(水) 17:45:11
>>9
いや問題発生でみれないです

11 :132人目の素数さん:2010/12/15(水) 18:38:52
dl してからみれば ok かと

12 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 00:19:21
たしかに見れないな

13 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 01:57:09
重し

14 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 02:03:40
>>7
これは英語?
日本語にしてくれよw

15 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 02:39:12
導入の時は
まずどんな圏を考察するんだぜ

16 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 06:58:13
圏論を理解していないとフェルマーの最終定理の証明は理解できませんか?

17 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 16:21:36
圏論を理解するとゼータ関数の姿が見えるようになりますか?

18 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 22:45:39
圏同値の例あげれるやついる?

19 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 23:15:08
locally compact housdolf spaceとcommutative C^*algebra

20 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 23:21:59
関手の例あげれるやついる?

21 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 23:25:59
集合の圏から線型空間の圏への関手で
集合Sを集合Sを基底とする線型空間に対応

22 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 23:28:57
圏論ってのはホモロジー代数みたいなもん。
使うための道具であってそれ自体研究する内容なんてほとんどない。

23 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 23:37:07
数学的構造についての形式論だろ

24 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 23:40:32
>>21 そのような関手作れるけ?

25 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 23:41:24
圏論なめちゃあかんぜよ

26 :132人目の素数さん:2010/12/16(木) 23:46:25
じゃ、舐めるな危険。毒入りと書いとけよ。死亡事故が起きてからでは遅いのだぞ。

27 :132人目の素数さん:2010/12/17(金) 00:00:01
>>24 学生の時そう習ったが・・・・誰かわかる人いる?

28 :132人目の素数さん:2010/12/17(金) 23:54:39
>>27 作れそうな気がする

29 :132人目の素数さん:2010/12/18(土) 01:58:18
俺みたいな工学部にいる人間に関手をわかりやすく教えてくれ

30 :132人目の素数さん:2010/12/18(土) 13:23:59
>>19もっと簡単な圏同値の例ありませんか?

31 :132人目の素数さん:2010/12/18(土) 17:03:04
aruyo

32 :132人目の素数さん:2010/12/18(土) 17:26:31
カテーテル

33 :132人目の素数さん:2010/12/19(日) 13:58:26
>>31 あるなら教えてくれよん

34 :132人目の素数さん:2010/12/19(日) 14:01:04
そんなことより圏双対の定義おしえてくれよん

35 :132人目の素数さん:2010/12/19(日) 14:26:25
クラスという言葉に数学的な定義ってあるんですか?
数学的には無定義語?

36 :132人目の素数さん:2010/12/19(日) 14:28:35
集合より一つ上の概念だっけなー?

37 :132人目の素数さん:2010/12/20(月) 04:46:48
kを体として、数ベクトルの空間のなす圏を考えて、これをk-NVecとする。
(ただし、次元を決めたとき、各次元の数ベクトルはひとつしか存在しないと思う。
ちなみに対象の間の射はk-線形写像。)
これとは別に、k-Vecをk上のベクトル空間全体のなす圏とする。
(つまり素朴にはk-NVecより「大きい」。)
そうすると、k-Vecからk-NVecへの関手が、
「各ベクトル空間の基底を次元の同じ数ベクトル空間の普通の基底に移す」
ことで定まる。
逆にk-NVecからk-Vecへの関手が、単なる埋め込みによって定まる。
これは今与えた関手によって同値な圏だが、簡単に分かるように「同じ」ではない。
(詳しくは圏の骨格を検索すべし。)


k-Vecからk-Vecへの(反変)関手を、ベクトル空間Vをその双対V^*に、
f:V->Wをその双対写像f^*:W^*->V^*に移すことで定義できる。
実際、f∈Hom(V,W)であったのがf∈Hom(W^*,V^*)と「反対」になっていて、
他の関手の公理をみたすことが分かる。
この関手をF=*と書けば、関手Gとしてやはり*を取るとGF(V)はVと同型になっていて、
ここで同型写像iso_Vたちをうまく取ることでf:V->WとGF(f):GF(V)->GF(W)はiso_Vで「同一視」できる。
つまり、
   f
V  -> W
↓iso_V ↓iso_W
GF(V)->GF(W)
  GF(f)
が可換になる。(当然だが、FGも同じ図式を可換にする。)

このように、A,Bを圏として反変関手F:A->BおよびG:B->Aが存在して、
GF(a)とaが同型で、aごとに決まる同型iso_aによって上の図式が可換
FG(b)とbが同型で、bごとに決まる同型iso_bによって上の図式が可換
なるときA,Bは圏双対であるという。
(これはid_AとGFが自然同型で、id_BとFGが自然同型、とも言える。)

38 :sage:2010/12/20(月) 10:35:30
もう少し「意味のある」圏同値としては、
k-ベクトル空間全体のなす圏とMat_n(k)加群全体のなす圏が挙げられる。

39 :132人目の素数さん:2010/12/20(月) 12:05:53
圏論は意味がない事が分かった。

40 :132人目の素数さん:2010/12/20(月) 17:42:22
見るのもいや。くだらない言葉遊び

41 :132人目の素数さん:2010/12/20(月) 17:55:08
各ベクトル空間の基底をってそれじゃwell defでないだろ。
それともk-Vectは初めから規定も指定されてる圏なの?
それならそんなのtrivialだよね。

42 :132人目の素数さん:2010/12/20(月) 18:44:28
圏論してたら全射とは一体何なのかわからなくなる

43 :132人目の素数さん:2010/12/20(月) 19:20:57
>>41
いや,各ベクトル空間について基底を一つ決めたらwell-defってことだよ.
例がtrivialだというなら,それは申し訳ないけれど,圏の骨格という概念はそういうものだよ.
(もちろん,一般の圏同値が骨格になっているというわけではない.
ただ,圏同値と圏同型の違いを強調したかった.)
http://en.wikipedia.org/wiki/Skeleton_(category_theory)

44 :132人目の素数さん:2010/12/20(月) 20:15:20
>>43 >各ベクトル空間について基底を一つ決めたら
これって可能なの?選択公理よりかなり強い公理が必要だと思うが。

45 :132人目の素数さん:2010/12/20(月) 20:35:33
>>44
選択公理があればベクトル空間に基底は存在するから、
適当な制限で小さい圏にすれば選択公理だけでよい。
有限個のベクトル空間による充満部分圏と、
それを更に同一次元の対象が一つしかない圏を取れば、
選択公理なしで同じ議論ができる。

46 :132人目の素数さん:2010/12/20(月) 23:29:23
>>45 いや、一個一個は当然基底取れるけど、
 全部をあらかじめきめとかなきゃいかんわけでしょ?

47 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 00:11:44
>>46
小さい圏にすれば選択公理で選択すればいいと思うのだけど。
特に有限個で有限次元にしてしまえば、選択公理すらいらなくなる、という話。

48 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 00:25:57
は?

49 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 01:09:36
>>48がなぜ「は?」なのかがよくわからない。
>>46の「あらかじめ」という言葉の意味を数学的に説明してくれますか?

>>45で言っているのは、小さい圏、例えば有限次元k-ベクトル空間の圏k-vecを取ってくると、
ベクトル空間Vごとに基底たちのなす集合B_Vが取れますが、
k-vecの対象は集合なので、選択公理が適用できてB_Vから
一つの元を選ぶことで写像V|->b(b\in B_V)が作れます。
この基底を数ベクトル空間の普通の基底と自然に対応させれば、
有限次元数k-ベクトル空間への関手が構成できて、この関手は圏同値である
(とくに数ベクトル空間の圏は数と限らない方の骨格)
ということです。(別に基底を取らずに直接同型V->k^mから一つを選んでも一緒ですが。)

50 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 01:24:28
は?

51 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 01:29:26
猫の圏と性犯罪数学者の圏は圏同値

52 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 04:13:00
どうもわかりがよくないようなので、簡単な例で考えてみよう。
X={1,2,…,n}として、Xの部分集合全体を2^Xと表す。
圏cat(X)が次で定まる。

object:2^Xの元(つまりXの部分集合がobject)
射:写像

つまり、例えばHom({1,2},{1,3})は
f(1)=1,f(2)=1なる写像fと
g(1)=1,g(2)=3なる写像gと
h(1)=3,h(2)=1なる写像hと
i(1)=3,i(2)=3なる写像iの
4つの写像からできている。

この圏と、同様にして定まる圏cat(Y={0,1,…,n-1})は
自然な意味で圏として同型であることは明らか。
同型を与える関手としては、例えば数を1ずつずらすとか、あるいはnを0と思うとか、
そういった対応から与えられる関手が考えられる。

53 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 04:14:14
しかし、cat(X)は実は次で与えられる圏Cと同値である。

Cのobject:{空集合,{1},{1,2},…,{1,2,…,n}}
射:写像

どういうことか説明しよう。
cat(X)のobject A(∈2^X)を、 Cの個数の同じobject F(A) (={1,2,…,|A|})に
「適当なAごとに決まる全単射iso_A:A->F(A)を通して」対応させる。
この「適当なAごとに決まる全単射iso_A:A->F(A)を通して」というのは、
Homの対応をこのiso_Aを通して与えるということである。
関手Fは、objectの間だけではなく
Hom(A,B)とHom(F(A),F(B))の間の対応も与えなければならないので、
それを具体的に与えるために今はiso_Aというものを考えたのである。
とくに、話を分かりやすくするために{空集合,{1},{1,2},…,{1,2,…,n}}上では
identityになるようにしておこう。
これが実際に関手を与えることは、関手の定義に照らして計算してみればわかる。

54 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 04:15:56
さて、他方Cからcat(X)へは単純な埋め込みによって関手が作れる。これをGとしよう。
(これが関手なることもやはり公理の確認の計算をしてみればわかる。)
そうすると、次のことがわかる。
1:A,Bをcat(X)のobjectとするとき
   f
A  -> B
↓iso_A ↓iso_B
GF(A)->GF(B)
  GF(f)
は可換。
2:A,BをCのobjectとするとき
   f
A  -> B
↓id_A ↓id_B
FG(A)->FG(B)
  FG(f)
は可換。

一般に、この共変関手F,Gが1と2を満たすときに、二つの圏は同値であるという。

これをベクトル空間でやったのが>>37の前半の話。

55 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 08:05:30
圏論の入門書ってどれがいいですか?
シュプリンガーの奴がいいすか

56 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 08:17:42
例がたくさん載っている本ありますか?

57 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 11:31:05
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hasimoto/paper/cat10.pdf

58 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 11:33:15
圏論てのは当たり前の事をもったいぶって論じてるに過ぎない気がしてきた。

59 :132人目の素数さん:2010/12/21(火) 20:55:13
その通り

60 :猫は悪魔 ◆MuKUnGPXAY :2010/12/22(水) 12:19:42



61 :132人目の素数さん:2010/12/22(水) 12:46:53
>>52-54を踏まえて、群を考えてみよう。
G:群とすると、Gは次で圏C_Gと思える:
C_Gの対象:{e}
C_Gの射:Hom(e,e)=G,射の合成を群演算と思う

このとき、C_Gの任意の射はisomorphismである。
また、C_GとC_Hをとると、任意の群準同型から関手が得られる。
この関手が圏同値を導くので、任意のC_Gは圏同値。

62 :132人目の素数さん:2010/12/22(水) 15:57:26
>>6
双対圏って矢印ひっくり返すだけ。

63 :132人目の素数さん:2010/12/22(水) 15:59:25
premium73-220.across.or.jp (218.223.73.220)

64 :132人目の素数さん:2010/12/22(水) 16:59:11
>>62
圏双対と双対圏は違うと思われ。
>>6ではequivalenceと並べて書いてあるから、dualじゃなくてduality of categoriesだと思う)

65 :132人目の素数さん:2010/12/22(水) 17:11:38
>>64
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender2&dd=19&re=40988

66 :132人目の素数さん:2010/12/22(水) 17:47:52
>>65のリンクの
> i) 一個の対象からなる圏 C と、二個の対象からなる圏 C' で、圏同型ではないが圏同値なる物がある。
> ii) 体 K 上の有限次元ベクトル空間と K-準同型からなる圏はその双対圏に圏同値である。
> iii) 有限集合の圏はその双対圏と圏同値でない。
このi)とii)にあたる話はすでに>>37,>>52-54で出ているが、
iii)のような自己双対でない圏の簡単な例は挙げていないので、確認してみよう。
特に分かりやすい例として、ただ一つの元からなる集合から出ている矢と入る矢を元の圏と双対で比べてみよう。

67 :132人目の素数さん:2010/12/22(水) 17:55:17
>>6(おそらく>>65のリンク先の質問ヌシ)は喧騒対と双対圏を取り違えてるだけだろうという話のつもりだったのだがまあいいか

68 :132人目の素数さん:2010/12/23(木) 14:18:31
>>21が放置されているので、>>21についてもすこし。
ベクトル空間VからWへの線形写像は、その基底の移る先を決めると一意に定まるのであった。
とくに、Vの基底B_VとWの基底B_Wをとり、B_VからB_Wへの写像を与えると、
(これらの基底について写像を行列表示すれば成分には1と0ばかりの)線形写像VからWが定まる。
>>21は、(適当な)集合の圏をとって、そのobjectを基底とするようなベクトル空間を考え
今述べた対応を与えることで関手が得られるという話である。
(ちなみに、この基底と集合の対応を少し捻っても、やはり関手が得られる。)


圏Cから圏Dへの関手というのは、今の例のように
「ある圏C(の射)から決まった操作で別の圏Dの射を作ること」
と思うこともできる。
基底での振る舞いを考えると全体での振る舞いがわかるとか、
生成元での振る舞いを考えると全体での振る舞いがわかるという場合はたくさんある。
例えば、上のベクトル空間のかわりに、その集合を台とする自由(テンソル)代数をとると、
やはり同様の関手(集合から適当な代数の圏への関手)が得られる。
集合の生成する自由群にしてもよい。
(自由加群にすると、上のベクトル空間の圏をZ-加群の圏にしたものである。)

69 :132人目の素数さん:2010/12/23(木) 15:54:54
関手になる例と同時に関手にならない例も紹介しておこう。

整域には、(任意の整域で定義されている)「商体をつくる」という操作があった。
整域と、その間の環準同型からなる圏をC'とし、体の間の環準同型からなる圏をDとしよう。
C'の対象Rに対し、Dの対象F(R)をその商体として定めることができる。
しかし、このままでは射をうまく対応させることができず、関手にはならない。
というのは、例えばR=Z,R'=Z/2Zとすると、R->R'なる自然な全射環準同型があるが、
各々の商体Q,Z/2Zの間には環の準同型は存在しない。

これを解決するためには、C'の代わりに
「整域と、その間の『単射』環準同型からなる圏」Cをとればよい。
そうすると、商体をとるという操作は期する通りに関手になるのである。
(ということは本当は非自明なので、もちろん適当にチェックする必要はあるが。)

70 :132人目の素数さん:2010/12/23(木) 19:40:23
シュプリンガーの圏論の基礎で勉強したひといるの?

71 :132人目の素数さん:2010/12/23(木) 23:48:13
いない。

72 :猫と貉は別物 ◆MuKUnGPXAY :2010/12/24(金) 17:26:03
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73 :132人目の素数さん:2010/12/24(金) 18:48:26
ここで解説してくれてる人、「わかってるけど説明下手」の典型だわ

74 :猫と貉は別物 ◆MuKUnGPXAY :2010/12/24(金) 19:05:21
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75 :132人目の素数さん:2010/12/26(日) 08:04:08
圏CからDへの関手F,Gが存在したとする。
Cのobject cに対して、Dのobject F(c)およびG(c)が定まるが、
このF(c)とG(c)が「直接は違うモノだが同型である」という場合は、
上でも見たようにしばしば存在する。
一般に、このような状況を定式化した自然変換というものを考える。

定義:
ηを、cに対してDの射F(c)->G(c)を対応させる写像とする。
任意のCの対象c,c'とCの射f:c->c'に対して
次の図式が可換になるとき、ηは自然変換であるという。
  η(c)
F(c) -> G(c)
↓F(f) ↓G(f)
F(c')->G(c')
  η(c')

η(c)はしばしばη_cなどと書かれたりする。
Cの対象で添字付けられたDの写像の族と思う、ということ。
ただ、「cに対してDの射F(c)->G(c)を対応させる写像」
というよりは、cに対してDのobject F(c)とG(c)を選んで、
さらにそのobjectの「中身の」対応を与えるためにDの射F(c)->G(c)を選ぶ、
というような「気持ち」がある。
(もちろん、一般の圏に「中身」なるものは存在しないが)

76 :132人目の素数さん:2010/12/26(日) 08:28:03
特にη(c)たちがすべて同型射のとき、ηは自然同型である
(さらにF,Gが自然同型である)というのであった。

すでに少し述べたが、CとDを圏として、F:C->DおよびG:D->Cが存在して、
GF:C->Cがid_Cと自然同型かつFG:D->Dがid_Dと自然同型であるとき、
FおよびGが共変関手なら圏同値、FおよびGが反変関手なら圏双対と呼ぶのであった。


>>53でも軽く述べているように、関手というのは
「HomとHomの間によい対応を与えるもの」と捉えてよい。(というか定義からそうなのだが。)
そこでHomとHomの間の対応の仕方によって関手を類別するのは自然である。

C,Dを圏、関手F:C->Dが与えられたとする。
Fが忠実関手であるとは、任意のCのobject X,Yについて
Hom_C(X,Y)->Hom_D(F(X),F(Y))
   f |-> F(f)
が単射になる時のことをいう。
Fが充満関手であるとは、任意のCのobject X,Yについて
上の写像が全射になる時のことをいう。
(注意:簡単にわかるように、X,Yを動かしたりHom_D(-,-)全体で考えたりすると
単射や全射が崩れるが、それでも関手としては忠実・充満という場合もある。
例えば骨格などを考えるとよい。)


77 :132人目の素数さん:2010/12/27(月) 01:19:22
さて、普通の「ただの圏」においては、Hom_C(X,Y)というのはただの集合でしかない。
というと少々語弊があって、例えばHom_C(X,X)にはそれ自身の合成というものが定義されているが、
X≠Yの場合たとえばHom_C(X,Y)で閉じた演算などというものはない。
しかし、Hom_C(X,Y)にある種の性質が備わっているという場合がしばしばある。
例えば(Z-)加群の(小さい)圏をZ-modと書くことにすると、
Hom_{Z-mod}(X,Y)には、X,Yをfixしたとき「よく知られたとおり」可換群の構造が入る。

78 :132人目の素数さん:2010/12/27(月) 01:21:22
ここで、可換群の構造が入るとは、次の公理を満たすということである。
☆ H=Hom_{Z-mod}(X,Y)とおくと、ある写像
μ:H×H -> H (2項演算)
ι:H->H (1項演算)
η:{1} -> H (0項演算)
の組が存在して、次の図式を可換にする。
(1)結合法則:
     1_H×μ
  H×H×H -> H×H
μ×1_H↓   ↓μ
   H×H ->  H
      μ
(2)単位元(単位射)の存在:
      μ  μ
   H×H -> H <- H×H
η×1_H↑   ||   ↑1_H×η
  {1}×H -> H <- H×{1}
   iso(右射影) iso(左射影)
(これはH×H->μをまとめて、H=Hを消して三角形2つの形で述べられることが多い)
(3)逆元の存在:
      μ  μ
   H×H -> H <- H×H
ι×1_H↑   ||   ↑1_H×ι
   H×H <- H -> H×H
      d   d
ただし、d:H->H×Hはhを(h,h)に移す写像(diagonal map)である。☆ここまで群の公理

79 :132人目の素数さん:2010/12/27(月) 01:22:19
★(4)交換法則
   μ
H×H -> H
↓τ ||
H×H -> H
   μ
ただし、τ:H×H->H×Hは(x,y)->(y,x)で定まる交換写像である。★

この場合、Hom_{Z-mod}(X,Y)という集合に上で定めたような構造が入る、ということが重要である。
具体的には、f,g∈Hom_{Z-mod}(X,Y)に対して f+g∈Hom_{Z-mod}(X,Y)を
(f+g)(x)=f(x)+g(x)と定義できるのであった。
というのも、実際に
(f+g)(x+y)=f(x+y)+g(x+y)=f(x)+f(y)+g(x)+g(y)=(f+g)(x)+(f+g)(y)
となってf+gという写像は確かに可換群の凖同型を与えているのである。
(余談だが、これは実は積の展開をやっているのと全く同じ式変形である。)

このように、圏Cの始点Xと終点Yを固定した射Hom_C(X,Y)がある種の「構造」を持つ場合について
いろいろな考察を加えたのがEnriched categoryである。

80 :132人目の素数さん:2010/12/27(月) 14:50:17
>>61で群から対象が1つの圏を作った。
一般に、モノイドが与えられたとき、モノイドから対象が1つの圏を作ることができる。
ただし、モノイドとは>>78の(1),(2)を満たす組(H,μ,η)のことである。
群の場合、各射は同型のみになるが、モノイドに対応する圏の射には必ずしも同型でないものが存在する。
たとえば、{1,x,x^2,...}という集合は普通の積でモノイドの構造が入るが、x^mを1に「もどす」ことはできない。

さて、いま逆にある圏Cから対象Xを一つとってきてHom_C(X,X)を考えると、これはモノイドと思える。
(対象Xからなる充満部分圏を取るとモノイドの与える圏と同値、とも言える。)

81 :132人目の素数さん:2010/12/27(月) 16:28:10
>>80の話を片隅に置きつつ、「モノイドの公理と類似の性質」を持つ操作である
テンソル積について話をしよう。

Hom_C(X,Y)たちがある種の「構造」を持つ場合について話をしようということだったのだが、
ベクトル空間の圏のテンソル積という「演算」について考えてみる。
以下、Hom_{k-vec}を単にHomと書く。

Hom(T,U)⊗Hom(V,W)とHom(T⊗V,U⊗W)はベクトル空間としての同型である。
今は同じテンソル積なので見にくいが、Hom(T,U)⊗Hom(V,W)は「射についてのテンソル」で、
Hom(T⊗V,U⊗W)の中身のT⊗V,U⊗Wは「対象についてのテンソル」である。
これをあえて区別して
Hom(T,U) ⊗_m Hom(V,W) ≅ Hom(T ⊗_o V,U ⊗_o W)
と書くことにしよう。
いまは、Hom(T,U)にもHom(V,W)にもベクトル空間の構造があって、
それによって⊗_mという「演算」を考えることができたのだが、
Homのベクトル空間の構造はあまり気にせず、⊗_mを
(1)単なるHom(T,U)とHom(V,W)から別の集合 Hom(T,U) ⊗_m Hom(V,W)を作り、さらに
(2)Hom(T,U)の元とHom(V,W)の元を「うまく対応させる」ものだ
とだけ思うことにしよう。
(もちろん、その「うまく対応させる」というのはベクトル空間の構造から来ているものなのだが。)
ここで更に、別の集合Hom(T,U) ⊗_m Hom(V,W)というのは
Hom(T ⊗_o V,U ⊗_o W)のことだと「定義」することにしよう。
つまり、Hom(T,U) ⊗_m Hom(V,W)というのは(単なる普遍性を持つ空間ではなく)
Hom(T ⊗_o V,U ⊗_o W)のことだと思うことにするのである。
そうすると、⊗:C×C->Cは関手を与えることになる。
(ただし、C×Cというのは、objectの組をobjectとし、射の組を射とする圏である。)

この関手が、次に述べる「モノイドの公理と類似の性質」を持つのである。

82 :132人目の素数さん:2010/12/27(月) 17:23:08
現代数学の没落の象徴。

83 :132人目の素数さん:2010/12/27(月) 18:42:43
k-vecをCと書く。
⊗:C×C->Cは次を満たす。
(1)U,V,W∈Cに対して
U⊗(V⊗W)≅(U⊗V)⊗W
が成り立つ。このU,V,Wを与えるごとに決まる同型(の適当なもの)をα_{U,V,W}と書く。
これは、圏と関手で言えば
   1_C×⊗  ⊗
C×C×C -> C×C -> C と

   ⊗×1_C  ⊗
C×C×C -> C×C -> C の間に
αによって自然変換が与えられるということ。
(自然変換は、関手のdomainごとに決まるものであったことに注意する。)
(2)⊗は左単位元および右単位元(に相当するもの)を持つ。
つまり、あるI∈Cが存在して、U∈Cに対して
U⊗I≅U,I⊗U≅Uである。このUを決めるごとに決まる二つの同型(の適当なもの)を
ρ_U,λ_Uと書く。(right,left)
これは、
C-> T×C -> C×C -> C と1_Cの間に
λによって自然変換が与えられるという主張である。
ただし、Tは1つの射と対象からなる圏。
さらに、α、λ、ρとして以下に示すコヒーレンス条件を満たすものがある。

84 :132人目の素数さん:2010/12/28(火) 16:30:28
左右を微妙に逆に書いてしまった。まあいいや。
U⊗(V⊗W)←(U⊗V)⊗W
   α_{U,V,W}
とする。あるいは、同じことだが
(U⊗V)⊗W→U⊗(V⊗W)
   α_{U,V,W}
である。

さて、
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1290575668/53-54
でも書いているように、4つの項T,U,V,Wをこの順に並べたときの2項演算の結合の仕方は
(((T,U),V),W)
((T,(U,V)),W)
(T,((U,V),W))
((T,U),(V,W))
(T,(U,(V,W)))
の5通りあり、これは((P,Q),R)<->(P,(Q,R))という「括弧の付け替え」なる自然な操作によって
互いに移り変わる。
上の5個を頂点とし、括弧の付け替えを辺と思うと5角形ができる。
一般に、項の数をnにしても頂点がカタラン数個の多面体(と解釈できるグラフ)ができることが知られており、
これをassocia-hedronまたはStasheff Polytopeという。
話がそれてしまったが、この付け替えによってαが良い性質を満たす、というのがコヒーレンス条件の一つである。

85 :132人目の素数さん:2010/12/28(火) 16:37:01
コヒーレンス条件(1)
任意のT,U,V,W∈k-vecに対し
(((T⊗U)⊗V)⊗W)
 ↓α_{U,V,W}⊗1_W
((T⊗(U⊗V))⊗W)
 ↓α_{T⊗U,V,W}
(T⊗((U⊗V)⊗W))
 ↓1_T⊗α_{U,V,W}
(T⊗(U⊗(V⊗W)))
の合成で得られる写像と
(((T⊗U)⊗V)⊗W)
 ↓α_{T⊗U,V,W}
((T⊗U)⊗(V⊗W))
 ↓α_{T,U,V⊗W}
(T⊗(U⊗(V⊗W)))
の合成で得られる写像が一致する。つまり、上の二つの写像の列をくっつけてできる図式が可換。
associa-hedronを書いて、テンソルの付け替えを向き付きで考えてできる可換図式を考えればよい。
関手の言葉でいえば、C×C×C×C->Cなる適当な関手たちを自然変換で移す2通りの方法を考えたとき、
その2つの方法で得られる関手の自然変換が一致する、という主張である。

コヒーレンス条件(2)
任意のU,V∈k-vecに対し、
    α_{U,I,V}
(U⊗I)⊗V -> U⊗(I⊗V)
 ↓λ_U⊗1_V ↓1_U⊗ρ_V
 U⊗V  == U⊗V
が可換になる。ただし、Iは>>83のIである。
これも関手の言葉でいうと、C×I×C -> Cたちの自然変換についての可換図式である。

86 :132人目の素数さん:2010/12/28(火) 17:08:10
これら(>>83,>>85)の公理を満たす圏Cをモノイド圏という。
(一般のCでは>>85のk-vecはCと読み替える)
このα,λ,ρが特に恒等写像であれば、Cは強モノイド圏であるという。

このあたりには、例によって微妙な議論がある。
ベクトル空間の圏withテンソル積⊗は、その定義によって
強モノイド圏になったりモノイド圏になったりするのである。

例えば、有限次元ベクトル空間のテンソル積を、

(1)各Vたちの基底B_Vを一つ固定することにし、V⊗Wは基底B_{V⊗W}={v_i⊗w_j|v_i∈B_V,w_j∈B_W}
を台とするベクトル空間と思う。

(2)常に数ベクトル空間としてしまう。つまり、V⊗WとはV,Wによらずk^{dim(V)dim(W)}である。

の2つの方法で定義することを考えると、前者では(v_i⊗w_j)⊗u_kとv_i⊗(w_j⊗u_k)の間に微妙な差異がある
(つまり自然同型で(V⊗W)⊗UとV⊗(U⊗W)を同一視はできるが同一と言ってよいかは微妙である)のに対し、
後者の定義では完全に同じもので、特にHomの対応を考えるとそれも込みで
(V⊗W)⊗UとV⊗(U⊗W)が一致してしまう。つまり、αが恒等写像として与えられる。
(λ,ρについても同様。)

まあしかし、一般にモノイド圏は強モノイド圏と(モノイド)同値らしいので、
そういうことはあまり気にしないことにする。

(テンソル積は普遍写像性質を用いて同型を除いて定義されるのだが、
その「同型を除いて」という部分に微妙なものがある、ということ。
これは>>37とも通じる。)

87 :132人目の素数さん:2010/12/28(火) 17:37:51
×(V⊗W)⊗UとV⊗(U⊗W)
○(V⊗W)⊗UとV⊗(W⊗U)

88 :132人目の素数さん:2010/12/28(火) 18:47:46
いつからクマースレに……

89 :132人目の素数さん:2010/12/28(火) 21:42:38
   ∩___∩         |
   | ノ\     ヽ        |
  /  ●゛  ● |        |
  | ∪  ( _●_) ミ       j
 彡、   |∪|   |        J>>88
/     ∩ノ ⊃  ヽ
(  \ / _ノ |  |
.\ “  /__|  |
  \ /___ /

90 :132人目の素数さん:2010/12/30(木) 01:01:07
圏論ってどの本で勉強すべき?

91 :132人目の素数さん:2010/12/30(木) 17:01:21
Oxford Logic Guidesのはどう?

92 :132人目の素数さん:2011/01/20(木) 21:29:02
あぶすとらーくとなーんせーんす
あぶすとらーくとなーんせーんす
あぶすとらーくとなーんせーんす

93 :132人目の素数さん:2011/02/07(月) 14:03:13
>>1
呼んだ?

94 :132人目の素数さん:2011/05/26(木) 10:08:13.10
高次圏論うさんくせえ

95 :132人目の素数さん:2011/05/26(木) 11:33:18.27
圏の有り難みを最初に感じるのはEilenberg-Zilberの定理ですな

96 :132人目の素数さん:2011/05/26(木) 17:23:00.80
そうか?
acyclic modelだと思うが。

97 :132人目の素数さん:2011/05/26(木) 17:35:51.62
   >┴<   ⊂⊃
...-(・∀・)-         ⊂⊃    幸せだった日々
   >┬<       ワーイ
       J( 'ー`)し ('∀` )    いくら金を積んでも戻らない福島の美しい自然
        (  )\('∀`) )
        ||  (_ _)||
;;⌒::.;;.⌒⌒/   /| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄/   /::. :; ;⌒⌒:.:⌒:;⌒;;⌒
..  ,::.;  /   /| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄/   /.., ,; .:   ,,。,.(◯)   ::
  : :::., /   /| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄/   /,,;  (◯)  ::: ヽ|〃  ;;:
.  ,:.; /   /| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄/   /.., ,; :ヽ|〃  ,,。,    ::;;,

98 :あんでぃは賛同 ◆AdkZFxa49I :2011/05/29(日) 00:11:50.68
あんでぃ

99 :132人目の素数さん:2011/06/02(木) 00:31:47.94
圏論ってもはや論理学だよね

100 :132人目の素数さん:2011/06/03(金) 04:07:46.81
>>99
> 圏論ってもはや論理学だよね

というより言葉、数学を記述する言語だと思う
まあ論理学も同じようなもんだと言えないこともないけど
一見すると圏論って群論とか環論なんかと同じく圏という特定の代数的構造に関する理論のように初心者は勘違いしがちだけど
だから群論とか環論とかを勉強するようなつもりで圏論を勉強すると失望するというか砂を噛むような味気なさを感じるだろうな


101 :132人目の素数さん:2011/06/03(金) 04:24:03.79
圏 ⇔ 一般代数系全体
特定の圏 ⇔ 群・環とか

みたいな対応で考えられて
特定の圏だけ考えるようにすれば代数学に近くなるんじゃないのか

102 :132人目の素数さん:2011/06/03(金) 10:55:17.76
圏って要するに群環の準同型すなわち矢印が一番大事なんだよ
群や環は何だっていいんだよ、矢印だけに注目しなさいって理論

103 :132人目の素数さん:2011/06/03(金) 23:22:47.14
>>99
つ トポス

104 : 【Dsci1307288824320992】 :2011/06/06(月) 00:53:53.39
test

105 :あんでぃ「も」弱者 ◆AdkZFxa49I :2011/06/15(水) 18:46:25.10
あんでぃ

106 :132人目の素数さん:2011/07/03(日) 10:33:35.09

何でもあんでいでおしまいかよ アホ
つまんね

107 :132人目の素数さん:2011/07/04(月) 00:05:59.59
『圏論の基礎』が消えた
買いそこなった
悲しい

108 :132人目の素数さん:2011/07/15(金) 17:40:44.21
重複?

109 :蛙-かわづ- ◆NxYIfSaetA :2011/07/29(金) 20:48:12.16
おわり。

110 :132人目の素数さん:2011/08/03(水) 09:22:24.15
多重圏てどう?

111 :132人目の素数さん:2011/08/03(水) 09:39:15.90
>>107
圏論の基礎なら、今となりで寝ているよ

112 :132人目の素数さん:2011/08/03(水) 12:41:58.23
げりふあんとの本を飼え

113 :132人目の素数さん:2011/08/20(土) 01:13:42.80
夏休みなのになんでレス少ないんだ?

114 :132人目の素数さん:2011/08/20(土) 02:29:52.45
学会出席で忙しい

115 :132人目の素数さん:2011/08/21(日) 11:49:56.15
2ちゃんは馬鹿の巣窟(笑)



116 :132人目の素数さん:2011/08/21(日) 13:19:55.42
学会なんてのもほとんどバカしかいないんだろ?

117 :132人目の素数さん:2011/08/21(日) 13:31:48.87
学会の中でも、自分の研究内容が分かる人は結局同じ大学研究室の人間だけというオチ

118 :132人目の素数さん:2011/08/21(日) 15:11:23.92
内輪ネタで盛り上がるだけの学会なんか意味ないだろ

119 :132人目の素数さん:2011/08/21(日) 15:21:33.39
>>118
卒業要件とか業績とかに学会参加が必要

120 :132人目の素数さん:2011/08/21(日) 15:42:21.03
卒業とか業績とかそんなことのために
数学やってて空しくならないか?

121 :132人目の素数さん:2011/08/22(月) 13:05:16.98
>>120
数学を続けるには卒業と業績が必要

122 :132人目の素数さん:2011/08/22(月) 17:27:36.03
で実際、続けられてるの?

123 :検便のナウシカ ◆UVkh7uHFoI :2011/09/09(金) 21:43:38.64
圏の局所化ってよくイメージできない。
どうやって考えればいいんだろう?

124 :132人目の素数さん:2011/09/10(土) 16:06:09.51
関数の合成

125 :132人目の素数さん:2011/09/23(金) 11:34:50.91
随伴(adjoint)というと, リストのlength定義, andとimplies, ∃と∀,
のような例があるようですが,どれもピンときません.
随伴の意味と威力を示す分かりやすい例があれば教えて戴けないでしょうか.

126 :132人目の素数さん:2011/10/25(火) 04:32:16.08
圏論って集合論の代替になるんでしょうか?

127 :132人目の素数さん:2011/11/04(金) 16:16:28.83
2つの自然変換が等しいことの定義がわかりません。マックレーンの圏論の基礎
でも見つけることができませんでした。ググっても見つけることができませんでした。
どなたか教えていただけないでしょうか。


128 :132人目の素数さん:2011/11/05(土) 06:17:05.77
集合論のどの部分を代替したいのかに拠るけれど、
圏論の言葉だけで集合論を翻訳することができるので、
全数学を記述する言葉としての集合論は圏論で代替できる。

129 :127:2011/11/05(土) 23:11:36.72
自然変換の相等の定義の仕方によっては、自然変換を射とみなそうとしても、
域と余域が一意に定まらないですね。やはり関手圏を厳密に定義するには、
自然変換と、その域、余域になるべき関手を組にして射とみなさないと
いけないようですね。まあ、考えてみれば、集合全体のなす圏を考える
ときもそうでしたね。


130 :132人目の素数さん:2011/11/19(土) 15:20:54.21
電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年5月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

131 :132人目の素数さん:2011/11/19(土) 15:21:50.59
魂は幾何学

誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険知ったかブッタの日本人
失敗作


テロ資料を忘れずに

132 :132人目の素数さん:2011/11/22(火) 03:41:21.51
圏論どころか数学も専門じゃない門外漢なのですが・・・
プログラムで型変換のコードを作っていて、圏が便利だったので圏のクラスライブラリーを作っていました
といっても、単純に
public class CCategory<TArrow, TObject>
{
public Func<TArrow, TObject> GetSource;
public Func<TArrow, TObject> GetTarget;
public Func<TObject, TArrow> GetId;
public Func<TArrow, TArrow, TArrow> Composition;
}
これだけのコードな訳ですが、最初は TArrow, TObject のコレクションを準備して
全要素につてい圏の公理を満たしているかチェックするようなコードを作っていました
しかし、無限の TArrow, TObject 要素を持つ圏ライブラリを作りたくなって
利用した TArrow, TObject に付いてだけチェックするようにしました。

そのうちある日ふと思ったのですが、例えば Id射 が、本来あるべき違う要素であっても
射の合成等で、それが対象にならないプログラムであれば、それがId射の条件を満たしていなくても何も問題ないなと
その場合、真のId射は別の Source Target 同一の要素になるように Composition が決まっているに違いないとして
存在するかどうかを無視して、圏を取り扱っていっても矛盾などでないなぁと
続く・・・

133 :132人目の素数さん:2011/11/22(火) 03:41:52.06
それは構造的には、以下のコードで x1() は false 、x2() はtrue となります。
f,g はバグ入りですが、実行はしないので問題無しと同じ事です。
bool x1() { return f.Equlas(g); }
bool x2() { return f.Equlas(f); }
int f() { バグ入りコード }
int g() { バグ入りコード }
プログラムでなくても、数学でも同じこと言えますよね、間違った証明が証明文中にあっても
その結果が、その証明で実は使われていなかったら結論には無影響です。
続く・・・

134 :132人目の素数さん:2011/11/22(火) 03:42:29.62
そして、最初の話に戻りますが、TArrow, TObject の要素として使われたらその瞬間にコレクションにそれを投入して
何かするごとに、それが圏の公理を満たしているかどうかをチェックするようにしてみました。
ある TArrow について、GetSource は実行したけれども GetTarget は実行していない
この時、Id射 が機能しているかどうかは Source だけチェックすれば Target 側は本当は嘘を返していても平気です
他にも色々制約がありますが、可能な限り怠慢なチェックをするとすればどういう手順でチェックすればいいのだろう?
と思いました。
続く・・・

135 :132人目の素数さん:2011/11/22(火) 03:42:52.01
今回は圏でのチェックでしたが、もっと別に群環体とか色々な数学的な構造について
怠慢なチェックをする便利な手順は研究されていないのでしょうか?
現在探しています

これを調べていて、ふと思った事は、公理なんか満たしていない対象でも満たしていると仮定して
証明したら正しい結果が出てしまった的な事は沢山ありそうだなぁとか
実際、物理の人が嘘臭いいい加減な証明を合理化したいと思う時に使える便利な魔法の手順なんて物は無いのだろうかとか
そんな研究ってどこかでしていないのかな?

136 :132人目の素数さん:2011/11/24(木) 13:57:18.00
>>107
復刊するって訳者の人がTwitterで言っていた

137 :132人目の素数さん:2011/11/25(金) 18:46:11.70
「圏論の基礎」は、圏論を簡単に解説する本ではない
「基礎」という単語にごまかされるな

数学基礎論がチンプンカンプンなように、「圏論の基礎」もチンプンカンプンだ

138 :132人目の素数さん:2011/12/01(木) 10:36:20.89
確かにかなり高度だな.
Awodeyとか,Adamek et alあたりが入門書としては適当か.

139 :132人目の素数さん:2011/12/02(金) 11:53:31.97
基礎基礎詐欺

140 :132人目の素数さん:2011/12/09(金) 18:43:13.68
当方、関数型プログラミングを勉強しているのですが圏論に興味を持ちました。ですが大学数学の知識ないです。圏論までの最短勉強法教えてくらはい。

141 :132人目の素数さん:2011/12/09(金) 21:59:12.25
まずは線型代数
http://www.amazon.co.jp/dp/4785313013

142 :132人目の素数さん:2011/12/10(土) 02:08:56.35
ありがとうございます。

143 :132人目の素数さん:2011/12/10(土) 11:24:15.18
たまに圏論がメインテーマじゃない本で1章くらで圏論の説明をしてる本があるけど、そういう本をの1章だけを読む方がいい

144 :132人目の素数さん:2011/12/14(水) 03:42:22.69
完全圏とアーベル圏の違い教えれ

145 :132人目の素数さん:2012/01/03(火) 03:21:14.84
>>143
そしてなるべく異なるテーマのそういう本を複数読むのがいい

146 :132人目の素数さん:2012/01/09(月) 06:39:42.12
清水義夫 東大出版 の 「圏論による論理学」読んだ方いらっしゃいますか??

初心者の私にも、わかりやすくサクッと読めて分かった気分になれたので結構いい本だと思うのですが、ちょこちょこ細かい間違いがある気がします。
できれば正誤表が欲しいのですが、どこかにあるかご存知の方いらっしゃいませんか??

具体的には、176ページの注意2)の、空間性トポスについての subobject classifier Ω の stalk sp. に入る位相で、
<i,[U]_i> ∈ I^ の近傍が {<i,[U]_i> | i∈V かつ V∈O(I) かつ U∈V } ( O(I) は I の開集合族)
と書かれているのですが、
{<i,[U]_i> | i∈V かつ V∈O(I) かつ U∈V } の i と U のどちらがその前に出てきた <i,[U]_i> ∈ I^ によって fix されているのか区別がつきません。
※まさか i も U もということはないと思います。
(多分、ミスだと思います。ってかそもそも、空間性トポスの説明のあたりで、位相空間に関する説明があやしいです。)

だれかご存知の方がいたらお願いします。

147 :132人目の素数さん:2012/01/10(火) 20:48:53.77
集まらんなあ

148 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 11:07:19.47
>>141
>まずは線型代数
そうかなあ?かなり疑問。

149 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 14:42:24.78
>>148
> >まずは線型代数
> そうかなあ?かなり疑問。

同感。
ことに質問者の>>140はプログラミングやってて圏論に興味もったって(Haskellのモナドあたりかな?)動機なんだから
線型代数→加群→ホモロジー代数→圏論って河内とか岩崎とかの教科書にあるストーリーとは全然別方向だと思う。
圏論の教科書って、書き手の専門によって割と明確に2種類に分かれるんだよね。
それで、百科事典的なのは別にすると、内容的にその双方をカバーしているのはほぼ皆無。
書き手の専門の違いによる2種類ってのは、

(1)代数屋や幾何屋が書いた圏論の本。
これは上のストーリーの延長というか普通のオーソドックスな数学分野向けの教科書。
古い本だとMitchellとかPareigisとか。最近だとLurieの高階トポスのもこちらに属する。

(2)ロジシャン(計算機科学屋)が書いた圏論の本。
これはロジックを圏論的に捉えようってストーリーだから線型代数なんて無関係。
Goldbrattのトポスの入門書はこちら。Asperti&LongoやPierceの本は当然こちら。
清水の本(俺の印象では第1章以外はGoldbrattのレジュメみたいな代物だと思う)もこちら。

ある圏論の教科書が上の2つのカテゴリーのどちらに属するかは簡単に判別がつく。
(2)に属する教科書なら必ず Catesian Closed Categories についての記述が(ほとんどの場合、かなり早い段階で)十分に与えられている。
何故なら、Cartesian-closednessは(色んな見方があるけれど、その一つとして)Herbrandの演繹定理(GentzenのNK/NJでのimplication-introduction規則)を
満たす(あるいは大雑把にはメタ言語での「ならば」と対象言語での「ならば」が対応する)構造の圏論的な特徴づけだからだ。

だけど代数や幾何ではそんな構造はほとんど意味がないから、Cartesian closed categoriesなんて扱わないか触れても極くわずか。

(続く)

150 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 14:44:57.05
続wktk

151 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 14:58:41.10
>>149の続き

>>140の質問はプログラミングと関連して圏論を勉強したいってのだから(1)のストーリーで勉強するのは無駄。
(少なくとも非常に遠回りだし、プログラミングとの関連が全く見えて来ない勉強を長々と続けねばならないので精神的に非常にくたびれる)

だから(2)に属する教科書を使って勉強するべきって事になるんだけど、問題は(2)の教科書でも圏論に関するある定義を説明する際の
具体例なんかは普通の数学(ロジックやプログラミングでなく)にある例を持ち出してるケースが少なくないんだよね。
だって、仮にも圏論を深く勉強しようって人間のほとんどは学部レベルの数学科の教育を受けてるのがほとんど、
つまり圏論の教科書は、読者に対して学部数学を勉強済みでそこの知識はあるって大前提で書かれているから。

ところが最近の関数プログラミングでHaskellとかがモナドとか圏論の用語をキャッチフレーズに使い出したものだから、
>>140(想像するにバリバリのプログラマーさんかな?)みたいに数学科の教育を受けていないけれど圏論を勉強したいって人が
少なからず出てきてる。

結論から言うと、数学専攻でないプログラマー向けの圏論の良い入門教科書ってのはない。日本語はおろか英語でもね。

>>140さんに言っておくと、Haskell使ってプログラム書くだけならば圏論なんて勉強しなくても自在に使える。
だから圏論の勉強しなくてもプログラミングには差し支えないし、勉強したからと言ってプログラミングが上達するのでもない。

という事を承知の上で、「それでも圏論を勉強したいんです」というのならば、
次の続きを読んで下さい。

152 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 15:01:25.97
真面目に読んでいます

153 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 15:26:29.89
>>151の続き

>>140さんのような数学が専攻でないプログラマー屋さんが「それでも圏論を勉強したい」というのならば、まず意識改革が必要だと思います。

どういう事かと言うと、『圏論は(数学的な構造を記述するための)言葉に過ぎない』と予め割り切った意識を持たねばならない。
同じくプログラミングの世界で多少は利用されつつある記号論理が単なる言葉(記述手段)であるようにね。
言い換えると、圏論やそこで登場する様々な概念(定義)そのものに対して具体的なイメージを期待しても無駄という事。

つまり、圏論は言葉だから使い方を知らねばならない。使い方を知るには具体例(語学の勉強ならば文例ですね)を色々と知っておかねばならない。
そうすると、まず圏が登場した切っ掛けは、数学的構造とそれを保存する写像としての準同型の概念それぞれを抽象化して、
対象(object)と射(morphism)となったのだから、圏論の利用での最も基本的なのは数学的構造とその間の準同型という事になる。

そこで、数学的構造の典型は代数構造ですから、それに関するう分かりやすい入門書で代数構造と準同型の実例を学ぶという事になります。
例えば、朝倉書店から出てる志賀浩二さんの『線形代数30講』や『群論への30講』は肩が凝らずに読みやすい。

それだけではくたびれるので、計算機科学の理論で圏がどう使われるかも勉強しよう。
日本語の本では、横内さんの『プログラム意味論』(共立出版)がある。
ずっと品切れだったのが、最近、復刊されるそうなので、既に復刊されているかもうすぐ復刊される。
これを読むと計算機向けの圏論の勉強(それだけならば第4章を読めば良い)だけでなく、Haskellを支えている意味論も勉強できる。

もちろん、清水さんの2章以降も良い。圏論やトポスに関しては分量的にも内容的にも横内さんのより遥かに豊富。

ここまで勉強すると圏論に関する本格的教科書であるMac Laneの『圏論の基礎』を何とか読めるようになると思う。
モナドに関しては、日本語の本ではそのMac Laneの翻訳本しかないだろう。(あったらごめんね)
英語で良ければ計算機屋向けにはAsperti & Longoのテキスト(絶版ですが著者がファイルを公開している)がある。但し、ミスプリントは一杯ある。

おしまい

154 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 15:33:51.11
>>146だけどそれこそ、清水先生の「圏論による論理学」で良いのでは?
数学の知識ほぼいらないし。

155 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 15:35:58.71
と思ったら、>>153が既に勧めていた。すまん。

156 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 15:36:35.43

そもそも『意味論』とは何か? そこあたりが明確になるといいと思う。

157 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 15:46:55.03
>>151の訂正と、全般的な補足
151> 結論から言うと、数学専攻でないプログラマー向けの圏論の良い入門教科書ってのはない。日本語はおろか英語でもね。

失礼。英語ではBenjamin Pierceの"Basic Category Theory for Computer Scientists" (MIT Press)がありますが、これは余りにも簡単すぎて
これだけを読んだのでは圏論について殆ど何も分からない。但し、圏の基本概念に対するプログラムでの具体例を知るには良い本です。
それから、Pierceさんの英文はとても読みやすい。下手な日本語の本よりずっと読みやすいので、よほど英語が苦手・嫌いでなければ読む価値は大いにあり。
今でも出版されてると思うが、仮に既に絶版になっていても一時期はとても良く売れた本だから古本で容易に入手できるだろう。

それと、以下は補足だが、ある構造を圏論的に捉える際に、色んなレベルで圏と看做せるという事に注意しておく必要がある。
例えば、計算機科学でも言語理論で登場するモノイドを圏論的に捉える事を考えよう。
全てのモノイド(群でも良い)の集まり(本当はsmallとか条件が付くが今の説明の本筋でないので省く)全体は一つの圏を成し、
その圏の対象は個々のモノイドで射はモノイドの構造を保つ準同型写像である。

ところが、任意にモノイドを一つ与えると、そのモノイドに対応する圏を考える事ができる。
この圏の対象は1つで、元のモノイドの要素それぞれが圏の射それぞれに対応する。

つまり、モノイドを圏論的に捉えると言っても、全てのモノイド全体の集まりで一つの圏として捉えるのと、個々のモノイドを一つの圏として捉える
全く別レベルの捉え方があるのに注意する必要がある。

では幸運を。


158 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 15:50:52.54
>>157
べんじゃみんは意図的にdisっていたんじゃないんだw

159 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 15:52:54.83
いかん、書き忘れてた。
Asperti & Longo本のタイトルは"Category Theory for Working Computer Scientists" (MIT Press)だ。
既に絶版だが、少なくとも以前は著者自身がPDFの形でファイルを配布してたので電子的には読めると思う。
それと横内さんの本で領域理論(スコット理論)に基づく関数型言語の意味論が展開されているが
モナドを用いた意味論は横内さんの本の範囲外。それについてはAsperti & Longoを読めば良い。

こんどこそ終わり(のつもり)

160 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 15:54:40.99
>>158
> >>157
> べんじゃみんは意図的にdisっていたんじゃないんだw

ベンジャミンさんをdisったりしませんよ。彼の本はあまりに当たり前というか空気同然の存在になってたんで忘れていただけ。

161 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 16:12:32.03
最終的に、線型代数の勉強を勧めているのかよく分からんが、
プログラミングでもかなり理論的なことに興味があるのなら
線型代数を知っておくのは非常に重要。
プログラミング言語の理論的分析によく使われる線型論理は
線型代数の「線型性」がモデルになっていると言えるんで。

162 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 16:26:10.54
>>161
> 最終的に、線型代数の勉強を勧めているのかよく分からんが、

射のアイデアの元となった構造を保存する写像の具体例を知る分野の一つとしてね。別に位相でも何でもいいんだが。
数学専攻以外の人間が読みやすくて入手も容易な教科書は何かって考えると、志賀さんの30講あたりになるだろう、
あのシリーズの中で準同型が出て来そうなのは群と線型代数(ベクトル空間)ぐらいかってだけで、それ以上の深い理由はない。

163 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 18:15:34.45
>>149-162
おおー!レクチャーありがとう。
>数学専攻でないプログラマー向けの圏論の良い入門教科書>ってのはない。
あなたが書いてくれんか。
>こんどこそ終わり(のつもり)
そんなこと言わずもっとここにいて語ってくれ。

164 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 18:43:24.50
>>153
モナドは槇書店の圏論に載ってる。
絶版だが。

165 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 18:45:26.12
最低線形代数、位相空間論の初歩ぐらいは学んでから圏論に取組んでくれ。
たとえプログラマでも。

166 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 19:03:03.46
簡単な場合だと、Posetがモナドになるよね。
そういう単純な例でじっくり考えるのも楽しいね。

167 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 19:05:11.34
射は射精の射

168 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 19:09:29.83
Mac Lane のどのあたりが難しいの?

169 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 19:10:40.61
全部。あれは入門書にあらず。

170 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 19:17:01.21
そうかな?
俺はモチベーションがないんで全部読んでないけど特に難しいとは思わなかった
読むのが面倒というのはある。

171 :170:2012/01/11(水) 19:20:29.51
ある程度圏論に慣れていたせいかもしれない

172 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 19:20:40.96
どう感じるかは人による。
アーベル圏の本としては全然食い足らんし。

173 :170:2012/01/11(水) 19:23:10.84
アーベル圏と言えば Freyd が難しかった
Mac Laneの比じゃない

174 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 19:25:37.93
Mitchellも難い?

175 :170:2012/01/11(水) 19:26:36.57
Handbook of categorical algebraの評判はどうなの?

176 :170:2012/01/11(水) 19:27:22.04
Mitchellのほうがはるかに読みやすい

177 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 19:45:18.06
>>164
> >>153
> モナドは槇書店の圏論に載ってる。
> 絶版だが。

ああ大熊さんの本か。すっかり忘れてた。
あれはMac Laneの翻訳が出るまでは日本語による圏論の本では最もオーソドックスな内容だった。
まだ普通に売ってた時代に買ったから持ってるがロクに読んでない。(絶版で欲しがってる人々には悪いが)
大熊さんの読むのとMac Lane読むのとじゃ大して違わないと感じたし。
ともかく初めて圏論を勉強しようと思ってる人は竹内さんの『層・圏・トポス』で圏論を勉強しよう/できるなんて考えないことが大事。
あれは真面目に勉強するための本じゃない。

178 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 20:02:33.42
群論と線型代数をやっておくと、表現論がやれるから、圏論の足がかりとしては有用だと思うよ。

179 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 20:03:54.89
プログラム意味論に位相要るだろ

180 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 20:04:49.37
>>177
竹内の本なんて、ありゃ詐欺だ。

181 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 20:07:28.85
ここはよい先生が揃っているよいだから教えてほしいのだが。
木下さんという人が書いたものの中に以下の記事がある。
「左随伴をもつというのは,そのようなモノイドから環への最低限の拡張が,
たしかに可能である,ということを言っている・・・そのような拡張が同型を除
いて一意であることなどが,左随伴というキーワードから出てくる」 
これはなにを言っているのだろうか?モノイドの公理にいくつかの公理を付け
加えたのが環の公理なのだから、「モノイドから環への最低限の拡張が可能で
ある」ことは、圏や随伴性を持ち出すまでもなく明らかだと思うのだが。
「最低限」という所がポイントなのだろうか?それとも一意性の所?・・・

182 :ヘタレプログラマ:2012/01/11(水) 20:16:23.95
難くてわかりましぇん。

183 :あのこうちやんは始皇帝だった:2012/01/11(水) 20:21:11.15

 クソの役にも立たないコトに、時間を無駄使いすると、ニート・無職に、
なっちゃいますよ!!!!!!!!!!!!!!!!!


184 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 20:33:47.41
>>181
公理を加えると、拡張とは方向が逆じゃないか?

185 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 20:56:51.71
>>181
モノイド M から環 A の乗法モノイドへの準同型 f:M → A があるとする。
このときモノイド環 Z[M] から A への準同型 g で f の拡張になっているものが一意に存在する。
だから Z[M] は M の拡張である環の中で最小の環と見なされるってことだろ。
これを小難しく言ってるだけだろ。

186 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 20:58:27.70
コテ付けろ熊

187 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 21:10:09.40
俺は熊じゃないから

188 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 21:11:04.41
>>185
とりあえずありがと。
熟読してみるよ。

189 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 22:48:48.82
>>181
> 木下さんという人が書いたものの中に以下の記事がある。

産総研の木下佳樹さんか。
その記述の意味についての解説は185にあるので、その点についてはそちらに任せるとして、
次の部分にある君の錯覚についてコメントしておく。

> これはなにを言っているのだろうか?モノイドの公理にいくつかの公理を付け
> 加えたのが環の公理なのだから、「モノイドから環への最低限の拡張が可能で
> ある」ことは、圏や随伴性を持ち出すまでもなく明らかだと思うのだが。

いや、公理を追加する向きへの拡張の存在、ましてその一意性は自明じゃない。
自明なのは構造を忘れる向きだ。

例えばある集合R上に環の構造があれば、その乗法については忘れて
Rを加法群と看做せるのは明らかだろ。

つまり任意の環Rに対して単純にその乗法を忘れて加法群と看做すという対応については
一意的なのが存在する。この構造を忘れるという対応付けが(この場合は環の圏から加法群の圏への)忘却関手だ。

だが逆に加法群の構造が入った集合Gがある時、
Gの上に何らかの2項演算を定義し乗法の公理や加法に対する分配則を
満たすようにしてGに環の構造を持たせる事は自明じゃない。

190 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 01:04:27.80

関数型言語とモナドの関係はいいとして、
論理型の言語もモナドと関係あるのかな?

191 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 01:58:00.87
>>161
線型論理とプログラミング言語の関係について解説希望

192 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 06:11:18.67
>>189
左随伴は逆射とは限らないのだから、群Gに環の構造を入れるとは限らないだろ。

193 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 10:01:25.91
>>189
>>185がまだよくわからず具体例で考えていた所なのだが・・・。
俺の間違いは、「拡張」が、「既定の構造の上に」拡張するということを失念して
いた点にあったようだ。
それならたしかに、忘却の方はもちろん自明だが、追加する方は自明でない。
追加が可能であることも、さらには一意であることも、ふつうのやりかたで
それを見通すことは簡単じゃないな。(いまそれを具体例でやってみているのだが:-)

194 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/12(木) 10:16:18.93
>>193
Z を有理整数環とする。
M をモノイドとする。
M で生成される Z 上の自由加群を Z[M] とする。
Z[M] の2元 x, y の乗法 xy を M の乗法を線型に拡張することにより定義する。
即ち、x = Σa_ix_i と y = Σb_iy_i を Z[M] の元としたとき
xy = Σa_ib_jx_iy_j と定義する。
このとき Z[M] は環となる。
これを M の Z 上のモノイド環と呼ぶ。

モノイド M から環 A の乗法モノイドへの準同型 f:M → A があるとする。
このときモノイド環 Z[M] から A への準同型 g で f の拡張になっているものが一意に存在する。
これは g(Σa_ix_i) = Σa_if(x_i) と定義すればよい。

これを圏論の言葉で翻訳すると次のようになる。

Rng を環の圏とする。
Rng における射としては単位元を単位元に移すものとする。
Mon をモノイドの圏とする。
A ∈ Rng のとき A を乗法モノイドとみたものを U(A) と書く。

M ∈ Mon
A ∈ Rng
のとき上記から全単射 ψ:Hom(Z[M], A) → Hom(M, U(A)) が存在する。
ψ は M と A に関して自然である。
よって、M に Z[M] を対応させる関手は U の左随伴関手である。

195 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 15:14:48.86
>>151
>>140です。サーセン。haskellを最近かじりはじめたばっかです。
関数型はおろか普通のプログラミングさえまともにできない初心者です。
なんとなく知識人ぶりたくてhaskellさらには圏論を勉強したいなあと思い、質問しました。
死んできます。

196 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 16:52:30.51
ところで、HASKELLでいうところのMAYBEモナドというのは、
最適化動作としてあるCPUにおける投機実行みたいなもの?

197 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 18:56:35.81
関数型言語なんてもんに手を出す時点で実用的プログラム作るセンスないひょ

198 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 19:23:39.12
センスある人はBASIC使う

199 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 20:02:01.19
木下佳樹さんってまだ産総研で例のグループ率いているんだっけ?
だいぶ前に時限が来てる気もするんだが。

200 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 20:10:07.31
>>189, >>192
新しい演算がGで閉じてないときに、矛盾無く閉じるようにできるかは
それだけでは不確定だ、とでも言うべきだろうね。

201 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 20:13:47.94
>>194
環も準同型も単位的なら、その圏はRngよりはRingと書くほうが「らしい」と思うが

202 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 21:02:22.03
>>191
線型論理は推論規則のお遊びで、プログラムにはほとんど無用というのが
俺の評価だが、どう?解説は聞いてみたいが。
>>196
というかヌルオブジェクト?
>>199
圏論はいまいち使われなかったって?

203 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 21:35:55.12
線形論理どころか、数理論理学、基礎論自体がお遊びで、
プログラミングとはまったく関係ない。

204 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 21:40:44.49
>>194
おかげさまで、多項式環を具体例として読むと、なんとか分かったかなと思う。
そして今は「当たり前だな」という感想。やっぱり分かっていないのかな?
> Z[M] から A への準同型 g で f の拡張になっているものが一意に存在する。
一意性はなぜ言えるのだろうか?

205 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 21:43:35.34
>>203
数理論理学がプログラミングと関係がないというのは違うと思うな。
むしろほぼ一体と言ってもよいのでは?

206 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 21:48:45.72
>>204
圏論以前に数学の知識が不足しているな。
線形代数、群、環、体、位相空間論のイロハを仕入れなさい。
圏は一時置いといて。

207 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 21:52:01.10
>>156
それはどういう意味?

208 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 21:57:19.64
>>206
たしかにそうかもしれんが、そうもいかんのだ。

209 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 22:01:17.77
左随伴の感じがどうもよくわからん。
ベンジャミン本の中にceiling functionの例があるが、それがどうした、
という感じしかしないのだ。

210 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 22:04:14.17
>>207
『意味論』という言葉の意味がわかりにくいという意味。
ひとことに『意味論』といってもいろんな意味があるから。

211 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 22:08:47.12
>>166
俺もそういうの好きだが、それだとありがたみや有効性が分かりにくいんじゃ
ない?シリトリ圏なんてのもあったが。

212 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 22:11:42.75
>>210
いろんな意味があることは受容する派?それとも?

213 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 22:55:53.11
>>208
ほぼ自明じゃん
強いて言えば、>>194 のクマーの説明で標準入射 M->Z[M] を「とばして」いるのを補うだけ

214 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 22:56:15.09
>>212
そのあたりを明解にしてくれるとありがたいと思うわけなんだよ。

215 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 23:02:19.52
簡単な問題は証明読むよりも、自分で計算した方が速いし分かりやすいのが常。
そう思えない人は、もっと易しい本を読むこと。

216 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 23:25:10.11
>>196
> ところで、HASKELLでいうところのMAYBEモナドというのは、
> 最適化動作としてあるCPUにおける投機実行みたいなもの?

Haskellに関する具体的な質問はプログラム板にHaskellのスレがあるから
そっちで質問した方が望む答えが得られやすいと思う。
(別にスレチだとか出て行けって言ってるんじゃない。
単に適切な答えが得られる可能性はあっちの方が高いってだけ)

関数型プログラミング言語Haskell Part17
http://toro.2ch.net/test/read.cgi/tech/1325510368/

217 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 23:30:13.17
根性の悪い教員に、程度の低いのはおれの講義聞くなと威張ってるのがいるよ。

218 :132人目の素数さん:2012/01/12(木) 23:50:16.66
>>216
そうだね。そのうちそちらの方で質問してみるよ。
関数型言語といっても、つきつめて考えれば命令型に
還元できるんじゃないかと思うし、モナドの合成は
関数や射の合成みたいなものかなーと想像したよ。

219 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 04:45:59.03
>>218
>関数型言語といっても、つきつめて考えれば命令型に
どうつきつめるのか知らんが、関数型言語自身は、そう還元できないし、
したくないと思っているよね。だからこそモナドなんてのを持ち出すの
じゃないの?

220 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 05:02:36.89
>>209
随伴なんてそんなもんだ、それがどうしたと思うのはごくごく正常

221 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/13(金) 05:49:29.89
>>220
右随伴関手は極限(limit)を保存するという定理(およびその双対定理)は覚えておくと
役に立つことがある

222 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 07:29:33.08
それって逆は言えなかったっけ?完全圏とか条件は付くだろうけど。

223 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/13(金) 08:36:17.02
>>222
特殊随伴関手定理

224 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 09:20:25.99
>>220
そう言ってくれるとちょっと楽になるが、マックレーンのスローガンの
気持ちがまったく分からんので、まだまだかなあ

225 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 09:23:19.45
アホな質問だが、証明論的とモデル論的って分け方でいくと、圏論ってやっぱり
モデル論的のほうだよね?

226 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 09:27:59.95
Kummer ◆SgHZJkrsn08e さんは幾何や解析は得意ですか?

227 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 10:16:46.19
>>219
少なくとも、CPUの動作レベルまで下がってくれば、という意味で。

228 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 13:54:40.64
熊さんいたんか


229 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/13(金) 14:09:29.91
随伴関手は普遍射とか表現可能関手とか米田の補題とかに密接に関連していて
圏論では最重要概念の一つ

230 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 14:29:19.87
熊さんの正体は大熊正さんですよね?

231 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 14:30:31.00
>>230
違う。ただのルンペンだよ。

232 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/13(金) 14:34:47.79
>>230
大熊正って今ぐぐって知った

233 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/13(金) 14:40:01.20
>>231
あんた50代以上だろw

234 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 15:07:57.27
クマって年寄りなのにオナニーどころか強姦もするって自慢してたよな。

235 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/13(金) 15:30:59.88
俺は年寄りじゃないから

236 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 18:30:32.28
ハスケルのモナドって要するにトリプルになってるってことだね?
リターンとかビンドとかいう言葉を使うからわけわからんかった。

237 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 18:57:51.79
>>225
論理学の観点から言ってる?それとも計算機科学の観点?
計算機科学で操作的意味論なんて呼ばれているものは
論理学の観点からすれば証明論でしかない。

238 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 19:07:26.39
そのあたりをちゃんと説明してくれてる本ってあるの?

239 :スレタイ446:2012/01/13(金) 19:48:19.90
>>238
日本語の資料では>>153にある横内さんの『プログラム意味論』に
操作的意味論と表示的意味論の両方からの
(λ計算への)アプローチの違いが載ってる。

240 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 21:06:44.03
>>237
これって225へのレスじゃないよね?
それから、ここの「操作的意味論」は「公理的意味論」の間違い?
それから、操作的意味論を意味論などと呼ぶから話がおかしくなるのでは?


241 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 22:41:31.88
ライカンの言語哲学

242 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 03:00:02.38
>>240
> >>237
> これって225へのレスじゃないよね?

237とは別人だが横レスすると、操作的意味論も数理論理学的には証明論という事になる。
λ計算でのreduction theoryだから構文的対象とその関係に対する推論規則の体系だからね。
無論、手続き的プログラミング言語に対する公理的意味論も数理論理学的には証明論的な体系の一つ。

> それから、ここの「操作的意味論」は「公理的意味論」の間違い?
> それから、操作的意味論を意味論などと呼ぶから話がおかしくなるのでは?

君の上の主張は歴史を無視した非常に視野の狭い主張。
「意味論(semantics)」という概念は数理論理学の成立以前から
言語学や個々の語学(英語学やフランス語学など個々の自然言語に対するもの)の中で確立されていた概念。
自然言語の意味論にも様々なアプローチがあって、数理論理学的に見てモデル論的でない意味論は山ほどある。
そしてプログラミング言語の意味論は自然言語の意味論と同じ意味での「意味論」。
だから、操作的意味論も公理的意味論も、表示的意味論と同じく、プログラミング言語に対する意味論として有意。

例えば、「プログラミング言語のモデル論」と呼ぶのならば、表示的意味論以外のアプローチはおかしいと主張しても正当だが。
何故ならば、「モデル論」という言葉や概念は数理論理学によって確立されたものだから、数理論理学的な意味でのモデル論以外はNGだと
主張するのは妥当だが、「意味論」は言語学で既に成立していた言葉を、数理論理学の中では勝手に非常に狭い意味に限定して使うように
しただけ。

従って、数理論理学に属さない分野で「意味論」という言葉を数理論理学の用法から外れた使い方をしてもNGとは言えない。
そしてプログラミング言語は少なくとも当初は数理論理学には属さずに発展してきた。
1960年代のプログラミング言語は数理論理学には縛られずに発展して来た。
そしてプログラミング言語の意味を形式的に捉える最初のアプローチである操作的意味論(PlotkinのSOSとは随分と違うアプローチだが)は
その1960年代前半に考え出された。
プログラミング言語が数理論理学を強く意識し、数理論理学屋がプログラミング言語の理論に大量に入り込むようになったのは型理論ブームからだよ。

243 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 03:15:34.76
>>242の補足

> そしてプログラミング言語は少なくとも当初は数理論理学には属さずに発展してきた。
> 1960年代のプログラミング言語は数理論理学には縛られずに発展して来た。

こう書くと、「いや、Turing machineがあるんだから最初から数理論理学に属していたじゃないか」と反論したくなるだろうが、
そもそもTuring machineのようにテープをどうするなんて形でプログラムを記述する実用プログラミング言語など存在しない。
非常に初期のを除く実用計算機ハードウェアも手続き的プログラミング言語も、すべて素朴な(インフォーマルで直感的に捉えられただけの)
Random access machineを計算モデルとして採用していてTuring machine由来ではない。
むろん、その当時も極めて少数は存在した計算の理論屋はTuring machineで考えていたのは確かだろうが
現実のプログラミング言語やハードウェアを開発していた人々はTuring machineなんて非実用的な計算モデルをベースにして考えたりしていなかったのは
彼らが生み出した言語やハードを見れば一目瞭然。
従って、当時のプログラミング言語やハードは数理論理学とは無縁に作られたし、それに対する操作的意味論も数理論理学をあまり意識せずに
考え出されたんだよ。

例えば現代的な公理的意味論の基本を60年代末に作ったHoareは数理論理学者じゃない(そういう専門教育も受けていない)。
操作的意味論だって同様だろう。
表示的意味論にしても、そういうスタイルの意味論を作ろうとしたStracheyは数理論理学とは無縁の人。
ただ、彼がλ計算を使ってそれをやろうとしていた時に、λ計算での自己適用に対するモデルの存在が不明でStracheyが挫折しかけていたのを
数理論理学屋のDana Scottが連続束によるモデルを作りだして救ったのだ。

プログラミング言語の意味論が次々に考案された初期の時代では、数理論理学屋による重要な貢献はこのScottの仕事ぐらいしかない。
数理論理学の応用分野としてプログラミング言語の基礎付けが意識され、両者の関係が密接になるのは80年代半ば以降の型理論の流行った時代から。


244 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 04:00:31.66
>数理論理学の応用分野としてプログラミング言語の基礎付けが意識され、両者の関係が密接になるのは80年代半ば以降の型理論の流行った時代から
プログラミング言語として関数型言語だけを念頭においた書き方のようだが、
論理型言語を忘れていないか?

245 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 08:12:06.62
論理プログラミングは少なくとも80年代より前からはやってるな
いま現在はやっているとは言いがたいとは思うが、昔は一大潮流だったろ

246 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 08:50:15.07
第5世代人工知能マシン♩
作ると日本のジジイ共が広げた大風呂敷。
出来たのは出来の悪いOSとオモチャのようなソフトウエア・ツールズ。
虻蜂取らずで世界の笑もの。

247 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 10:46:14.96
>>242-243
改めて整理してくれておもしろかった。
しかしあなたが言っているのは「であった」論。俺が言っているのは「すべき」論。
歴史的には(あるいはナイーブには)言語の意味論にはいろいろな形態のもの
があった(あってよい)のはそりゃその通り。一般人は、意味論と言えば、
机の上のあの辞書をまず思い浮かべるくらいだ。
だが今の俺たちは、syntaxとsemantics、証明論とモデル論を区別するのが
当然の世界にいる。その世界にいる者が、いつまで、表示的、公理的、操作
的をあたかも3種の意味論であるかのように妙な3本立てにしておくのかと
いうことだよ。
この世界では、意味論といえば表示的。公理的はむしろ証明論と訂正したほうが
がよいし、操作的は実行論とでも言えばよいんじゃないかな。
そうすると変な混乱はなくなる。公理的や操作的が不要だと言っているんじゃ
ないよ。

248 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 10:56:16.85
>>246
そうかなあ?
今は小物ばかりで、もっと大風呂敷を広げてみろと言いたいんだが。

249 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 13:48:20.47
意味論について詳しく書かれた書籍ってないんですか?
横内氏『プログラム意味論』は専門的でわかりにくいです。

250 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 17:05:45.62
ウンベルト・エーコ『テクストの概念』
http://www.amazon.co.jp/dp/4880591750

251 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 17:09:52.42
あー、要らん。

252 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 21:49:29.15
そうか。

253 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 23:02:30.60
>例えば、「プログラミング言語のモデル論」と呼ぶのならば、表示的意味論以外のアプローチはおかしいと主張しても正当だが。
>何故ならば、「モデル論」という言葉や概念は数理論理学によって確立されたものだから、数理論理学的な意味でのモデル論以外はNGだと
>主張するのは妥当だが、「意味論」は言語学で既に成立していた言葉を、数理論理学の中では勝手に非常に狭い意味に限定して使うように
>しただけ。
これも「歴史を無視した非常に視野の狭い主張」だね、
最後に「論」を付ける派生前の「モデル」って言葉は
数理論理学以前から普通に使われてる。数理モデルとか。
ま、論理型を知らないでプログラミング言語を語ってる奴に
視野が狭いだのいう資格はないがねw

254 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 23:15:56.65
数学とあんまり関係なくない?

255 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 00:19:22.06
圏論でプログラミング仕様を表現できることを発見したバカのせいで…

256 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 03:51:25.52
>>253
> 例えば、「プログラミング言語のモデル論」と呼ぶのならば、表示的意味論以外のアプローチはおかしいと主張しても正当だが。
> >何故ならば、「モデル論」という言葉や概念は数理論理学によって確立されたものだから、数理論理学的な意味でのモデル論以外はNGだと
> >主張するのは妥当だが、「意味論」は言語学で既に成立していた言葉を、数理論理学の中では勝手に非常に狭い意味に限定して使うように
> >しただけ。
> これも「歴史を無視した非常に視野の狭い主張」だね、
> 最後に「論」を付ける派生前の「モデル」って言葉は
> 数理論理学以前から普通に使われてる。数理モデルとか。
> ま、論理型を知らないでプログラミング言語を語ってる奴に
> 視野が狭いだのいう資格はないがねw

Prologについては失念していた。それについては訂正するが、
現実問題として、論理型言語が計算機プログラミングコミュニティでそれなりの影響力を持つのは80年代に入ってから、
つまり日本が第5世代プロジェクトをブチ上げてからだ。
70年代には、論理型言語は計算機科学の非常に狭いコミュニティの中でしか関心を持たれていなかったし
ましてや一般のプログラマにはほとんど知られていないし影響もなかった。
少しは歴史的な状況をちゃんと把握した上で反論したらどうかね?
君の反論は単なる揚げ足取りに過ぎず内容がない。


> 数理論理学以前から普通に使われてる。数理モデルとか。

「プログラミング言語のモデル論」と書いたんだよ。「プログラミング言語のモデル」とは書いていない。
「モデル論」と言っている以上、数理論理学的に規定された「モデル論」を指すのであって
非常に漠然とした意味での「モデル」ではない。

そもそもモデル一般ならば「数理モデル」なんてもの以前に一般用語としてのmodelは大昔からある概念。
明確な専門用語としての意味しかない「モデル論」と一般用語でもある「モデル」とを区別できない粗雑な人間とは
議論にならないね。

257 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 03:58:00.47
>>247
> >>242-243
> 改めて整理してくれておもしろかった。
> しかしあなたが言っているのは「であった」論。俺が言っているのは「すべき」論。
> 歴史的には(あるいはナイーブには)言語の意味論にはいろいろな形態のもの
> があった(あってよい)のはそりゃその通り。一般人は、意味論と言えば、
> 机の上のあの辞書をまず思い浮かべるくらいだ。
> だが今の俺たちは、syntaxとsemantics、証明論とモデル論を区別するのが
> 当然の世界にいる。その世界にいる者が、いつまで、表示的、公理的、操作
> 的をあたかも3種の意味論であるかのように妙な3本立てにしておくのかと
> いうことだよ。
> この世界では、意味論といえば表示的。公理的はむしろ証明論と訂正したほうが
> がよいし、操作的は実行論とでも言えばよいんじゃないかな。
> そうすると変な混乱はなくなる。公理的や操作的が不要だと言っているんじゃ
> ないよ。

プログラミング言語の意味論は別に数理論理学のために存在しているのでも作られたのでもない。
何よりもプログラミング言語はプログラマというソフトウェアを生産する人々にとって実用の道具でもあり、
その意味論はプログラマがプログラミング言語でプログラムを作る際に、その言語の「意味」をより正確に理解し
正しく使えるようにする為でもある。

その実用としてのプログラミング言語の意味論の観点からすれば、表示的意味論など殆ど役に立たない。
(プログラミング言語を用いてプログラムを書くプログラマがスコット理論を理解せねばならない、なんて主張はナンセンス)

実用の観点からすれば、最も役に立つのは操作的意味論。
そしてバグのないプログラムを書く助けとなるのは公理的意味論。
だからプログラマという利用者の観点から見た「意味」の理論は操作的意味論や公理的意味論の方が表示的意味論より優先する。
学問の為の学問なんてのは単なるオナニーに過ぎない。プログラミング言語は数理論理学のために存在してるんじゃないんだから。

258 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 07:11:57.51
>「プログラミング言語のモデル論」と書いたんだよ。「プログラミング言語のモデル」とは書いていない。
>「モデル論」と言っている以上、数理論理学的に規定された「モデル論」を指すのであって
>非常に漠然とした意味での「モデル」ではない。
「モデル」とその派生語である「モデル論」は別だという理屈のようだが、
「モデル論」と「モデル論的」は別と言ってるのと何も変わらん。
用語の派生関係をぶった切って自己正当化するような粗雑な人間とは議論にならないね。

259 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 09:50:35.63
論争するときはコテハンかトリップをつけましょう

260 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 10:09:59.62
>>255
>圏論でプログラミング仕様を表現できる
そうかな?表現できるってどういう意味でかな?どの範囲が?

261 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 10:16:59.83
>>257
俺が言っているのは「役に立つ」かどうかではないんだが。
>>256 >258
少し瑣末な議論にみえるのだが。

262 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 10:24:37.40
λ代数|=CCC(カルテシアン閉圏)|=λ計算|=関数型プログラム


263 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 10:27:36.43
>>262
関数型言語でプログラムが書けるって意味だったの?単に。

264 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 16:12:47.73
>>257
おおむね適切な指摘だと思う。
裏を返せば、今実用の(命令型の)プログラミング言語は本来の意味の「言語」
ではないんだよ。だからその「意味」なんてものも本当はないんだよ。

265 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 16:35:12.05
>>260
「圏論でプログラミング仕様を表現できる」の意味と意義

・ソフトウェアの論文を書くときに、プログラムを数学的な記号で表現できる
・論文を大量生産できる
・仕様書をそのままプログラムコードに変換できる(という夢を持てる)
・プログラムの仕様のうち圏論で表現できてる部分については、テストコードを自動生成できる


266 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 18:24:05.63
>>265
「プログラムあるいは仕様を数学的な記号で表現できる」 ってところが
本質的な所のようだが。
どこまでそれができている?Haskellのこと?ググればいいプログラム
例ある?

267 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 18:32:01.32
>>266
圏論での仕様の記述は特定のプログラミング言語とは独立している
仕様記述言語論は圏論がかなり幅をきかせてる
「そんな抽象的な議論で現実にプログラミングできるのか?」と突っ込まれたときに「Haskellでやれば」とボケる

268 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 18:41:22.80
プログラミング言語への圏論の応用については別スレが望ましい
数理論理学、基礎論などへの応用も同様

269 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 19:08:30.33
>仕様記述言語論は圏論がかなり幅をきかせてる
ここがよくわからん。仕様記述が要求していることと圏論が提供できる
ことがマッチしているんかな?言語独立の点だけは双方マッチしている
と思うが、それ以外は、圏論側からの一方的な押し付けで、仕様記述
側の要求はなにもわかっていないということはないかい?副作用は
モナドでくらいじゃ話にならないんだが。

270 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 19:25:12.28
>>269
仕様記述の一番の目的は仕様漏れを探すこと
つまり仕様の段階での自動デバッグ
なので原理的にモナド程度の小さい粒度で表現力が束縛されてる方が良い

271 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 20:05:39.70
>>270
そのときにも、「まずモナドありき。なんとかモナドを応用したい。」
という方向の発想ではないかい?線型論理なんかも同じようだが。
それが仕様記述の要求全体のどの部分をどの程度解決するのかという
見定めはあるんかな?

>>268
圏論そのものの議論がしたいということか?それはスマンな。
ただ、今圏論に対する関心は、むしろその応用の方にあるんじゃ
ないかとも思うんだが。

272 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 20:18:22.39
圏論そのものなんて、アブストラクトナンセンスってやつだろ?

273 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 20:36:08.72
>>271
>ただ、今圏論に対する関心は、むしろその応用の方にあるんじゃ
>ないかとも思うんだが。

俺が言ってるのは圏論に対する関心がどこにあるかということじゃなくて
圏論の特定の応用分野について議論したいならそのスレを立てればいいということ
その分野に関心のない者もいるわけだから。

274 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 20:39:17.09
>>272
だから圏論はやっても無駄とか無意味といいたいのか?

275 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 20:52:10.74
>>274
いや、圏論そのものの議論なんてつまらない。
具体的な事例との絡みがなければ深みのある議論なんて出来ない、
ということが言いたかった。

276 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:00:33.89
あんまり固いこと言わずにもうちょっと一緒にというのでどうよ。
だれも来ん所で話をしてるっても寂しいもんだで。

277 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:05:02.81
>>275
圏というのは要するにモノイドの一般化されたもの
これについての理論が圏論
群論とか環論とかとこの点で同じ
それがつまらないかどうかは人による
必ずしも応用と関連付けなければ面白くないというものでもない

278 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:05:34.36
同意。>>147がぼやいていたように、プログラミング論争が盛り上がる前は過疎ってたんだし、
それを追い出して過疎スレ化しようってのは賛成しかねる。

279 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:14:15.28
過疎なら過疎でいいよ
過疎だから本題から離れた話をしようというのは筋違い
はっきり言って圏論の計算機科学への応用とか俺は興味ない

280 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:15:45.36
本題から離れた話だと思ってるのは藻前だけ

281 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:18:49.89
圏論の本で計算機科学への応用について長々と書いたら本題から離れてることになるだろ


282 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:21:33.16
>>277
おっしゃることに間違いはないが、
「面白くないはない」じゃなくて「ここが面白いんだ!おまえら!」という
話を俺は聞きたいんだ。結局そういう話がないんじゃないかと実は
疑っているんだ。矢印は器用に使うが実例はさっぱりという学生も
よく目にするし。

283 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:21:50.93
ハァ?

284 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:24:52.79
>>281
お言葉だが、いまそういう本があったら、それは飛ぶように売れるよ。

285 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:27:14.36
アーベル圏の埋め込み定理の証明は面白い

286 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:30:40.16
>>284
売れる売れないに関係なくその本の題名に圏論の基礎とか書いたら非難されるだろ


287 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:34:30.71
>>286
えらく固いな。圏論の評判がわるくなるぞ。このスレのタイトルは何だよ。

288 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:39:01.55
>>287
売れる売れないに関係なくその本の題名に圏論好き集まれとか書いたら非難されるだろ
だから計算機科学がいかに面白かろうとスレ違いだろ
別スレ立てればいいだろ

289 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:44:54.67
圏論好きの一定割合(人数的には大多数かもな)はプログラム関係なんだから、
圏論好きが集まってプログラミングへの応用が話題に出るのはごくごく自然。
圏論好きが集まったら圏論の基礎しか語らないなんて思っているやつがお馬鹿なだけ。

290 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:48:00.66
>>288
もうこのへんで止めるが、あんたの主張は「題名と内容を一致させよ」
ということだと理解していたのだが違うか?288はそれに対する反論には
なっていないと思うが。
興味がなければ、読まなきゃいいと思うし、第一この近辺のあなたの
コメントが一番本題から離れていると思うがな。

291 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:50:29.63
>>289
圏論の話なら別に圏論の基礎だけじゃなくていいよ
ただし計算機科学の話はスレ違い
圏論が好きだから計算機科学も好きとは限らない

292 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:54:24.01
>>290
>あんたの主張は「題名と内容を一致させよ」
>ということだと理解していたのだが違うか?

俺の言ってるのはスレ違いの議論したいなら別スレ立てろということ

293 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 21:58:05.82
>>292
同じことだろ。抽象化は得意じゃなかったのか?

294 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 22:04:52.75
>>293
別に違うとは言ってないが、同じと思うなら次のコメントは出て来ないだろ

>288はそれに対する反論には
>なっていないと思うが。

295 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 22:17:50.18
>圏論の話なら別に圏論の基礎だけじゃなくていいよ
>ただし計算機科学の話はスレ違い
ついに自暴自棄になった?

296 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 22:22:28.81
>>295
なんでそう思う?

297 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 22:40:24.07
>>290
>興味がなければ、読まなきゃいいと思うし、

だからほとんど読んでないよ
しかし新しいレスが付けば一応確認する。
その度にプログラミング関係だとうんざりする。

298 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 22:43:07.89
プログラム板に別スレ建てろよボケ

299 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 22:44:40.22
>>291の言ってることは、
「計算機科学には興味がないから圏論ではない」
もっと突き詰めると
「俺の興味のないことは圏論ではない」
ということだろ。
こんな奴のいうことに付き合う必要はないと思う。


300 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 22:47:27.11
>>299
そなことどこに書いてる?

301 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 22:58:41.73
>>299
このスレの題名を見て頭を冷やせ

302 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:06:17.23
計算機科学だから圏論と関係ないとしか考えられないバカは放って置け。
自分で圏論の関連内容は全部把握していると思ってる勘違いクンなんだろ。

303 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:12:23.26
>>301
圏論の応用がスレチになるという理屈を解説してくれたまえ

304 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:16:11.81
群論は量子力学に応用されるから群論と量子力学は関連ある。
しかし、群論スレで量子力学への応用について延々と議論するのはスレ違い

305 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:19:24.19
それはお前の勝手な「スレ違い」基準なだけ。
お前は「スレ違い」の決定権を持っているとでも思ってるのか?

306 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:22:00.30
それ許しちゃったらおめぇ関係ない話延々と続くじゃん。

307 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:22:55.60
関係ないと思ってるのはお前だけだよ

308 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:23:17.40
>>303
「計算機科学への圏論の応用」と圏論とは違う
むしろ「計算機科学への圏論の応用」は計算機科学に含まれるだろ

309 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:25:15.69
計算機科学に含まれるとこのスレで語っていけないとでも?

310 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:26:09.95
極端なんだよ、関係あるか関係ないかなんて目的と用途によって違うんだから、
こんな発散的なところだったら今晩のおかずの選択についてまで関係してくるぞ。

311 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:27:19.94
極端はおまえだろ。お前が圏論と計算機科学の深い関係を理解できていないだけ。
だから今晩のおかずとの関連と同程度に認識できていないってだけだ。

312 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:28:20.64
×同程度に認識できていない
○同程度にしか認識できていない

313 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:30:34.22
深い関係というような表現はやめておいたほうがいいぞ。
変なところに迷い込む。

314 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:38:32.49
一般論として、自分にとって自明であるからといって、他人にとっても自明であるという
ことの根拠にはならんだろ。自己にとっての自明性を追求して真理に到達したとしても
それは一般的に妄想と言うと思うのだが。

315 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:39:03.61
誰も圏論と計算機科学は無関係とは言ってない
圏論は計算機科学に応用されてるんだから両者に関係あるのは馬鹿でも分かる
同様に群論も量子力学と関係ある

316 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:44:23.96
関係あるかないかといったら大抵なんでもこじつけられる。
問題はそのこじつけの目的。例えば単に誰かの『僕こんなに圏論わかってるんだよー』
的な話を根拠付けるためだけの理論をクローズアップしても、そんなアホ以下の
立場にいることを明らかにするだけにすぎないじゃん。

317 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:46:05.61
もっと例を挙げよう
確率論は金融工学に応用される
だから確率論と金融工学は関係ある
しかし、確率論のスレで金融工学の話を延々とするのはスレ違い

318 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:52:36.19
単にひとりよがりの人の話は面白くないってだけだと思うぜ。
関係なくても面白く展開できればOKだと思うし。

319 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:56:46.98
すごく関係する話でも相手によって一方的に打ち切りたくなることあるし。

320 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:57:54.64
>>317
はいはい、一人で騒いでろ

321 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 23:58:57.05
とりあえず計算機関連の話は別スレでしろってことだよ

322 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:06:43.91
圏論って、数学の中でも特殊で、応用から離れた「純粋圏論」は大して中身がない。
だから圏論スレが応用中心の話題になるのは健全なことだと思う

323 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:07:35.96
そだな。

324 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:09:31.99
323は321に対してな。

325 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:09:40.93
>>322
>圏論って、数学の中でも特殊で、応用から離れた「純粋圏論」は大して中身がない。

中身がないってどういう意味?

326 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:15:50.95
>>322
中身がないというのが大定理がないという意味なら違うだろ
アーベル圏の埋め込み定理は圏論で最初に得られた大定理だろう

327 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:18:39.38
大定理というなら Yoneda の方が先

328 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:22:05.23
>>327
米田は証明がトリビアルという意味で大定理ではない
重要な定理だが

329 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:29:04.47
>>322
中身がないのだったら、その応用分野の所で話せばいいということになるし、
話すとしても中身がないけどいいんだ、ということになるぜ。

330 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:29:24.30
圏論は言葉遊びしてるようにしか見えない。


331 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:32:58.01
何も考えずにできるからと言って、そのできることがわかっているとは限らない。

332 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:41:20.24
>>330
言葉遊びなら Mac Lane の本なんて簡単なはずだが
なんで難しいというやつが多いのかね

333 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:46:59.31
>>332
数学労働者用圏論のこと?

334 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:48:01.49
>>333
勿論そう

335 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 00:55:25.19
>>334
簡単とまでは言わないが、例が難しいというか幅広いからね
言葉遊びに徹するなら、確かに易しい部類

336 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 01:04:42.40
>>335
例が難しいって例えばどれ?

337 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 01:23:24.45
言葉遊びとか中身がないと思うのは抽象的つまり一般的だからだろ
抽象的だからいろいろな分野に応用出来る
それに数学は本来抽象的なもの
自然数だって抽象的なもの
それを具体的と思うのは慣れているから
圏論も慣れれば具体的に思えてくる

338 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 01:38:43.32
圏論の一つの利点としていわば車輪を2度発明しなくていいというのがある
圏論の一つの定理を証明しておけば数学のいろいろな分野で同じように
行われていたかもしれない多数の証明が不要になる。
もう一つの圏論の利点はその双対性
圏論の1個の定理を証明すればその双対定理の証明は不要である。
一石二鳥

339 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 01:40:24.54
>>258
> >「プログラミング言語のモデル論」と書いたんだよ。「プログラミング言語のモデル」とは書いていない。
> >「モデル論」と言っている以上、数理論理学的に規定された「モデル論」を指すのであって
> >非常に漠然とした意味での「モデル」ではない。
> 「モデル」とその派生語である「モデル論」は別だという理屈のようだが、
> 「モデル論」と「モデル論的」は別と言ってるのと何も変わらん。
> 用語の派生関係をぶった切って自己正当化するような粗雑な人間とは議論にならないね。


「モデル論」の原語は"model theory"で「モデル論的」は"model theoretical"は"model theory"という専門用語の名詞句から派生した形容句で
同一の学問領域で一貫して名詞句とその性質を保有する事を表現する形容句として関連付けられてのみ使用されている。

ところが「モデル」の原語は"model"で完全な一般用語として大昔から使用されており、"model theory"と常に関連して使わている訳ではない。

「モデル」と「モデル論」との違いと、「モデル論」と「モデル論的」の違いとが同じ程度の違いだと主張するお前は議論に何としても勝ちたいが為に
単なる屁理屈の反論をして恥の上塗りをしているだけ。

256の俺の投稿では>>253のお前を「粗雑」と批判したが、>>258の反論を見ると、お前は粗雑ですらなくて詭弁屋か単なる無知蒙昧かのいずれかだな。

340 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 01:45:14.04
ぷっ、一周遅れのバカが出てきたぞ

341 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 02:15:22.56
圏論が抽象的だから理解しにくいというのは小学生が分数の掛け算や割り算の規則を
具体的なもの(例えば四角い布切れとか食べ物のパイ)と関連付けないと理解しにくいのと似ている。
むしろ抽象的なほうが余計な情報が入らなくて理解しやすいのに。

342 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 08:37:29.97
>>321
あんた学生さんだと思うが、もっといろんな人と付き合った方がいいぞ。
とは言っても、ここにはあんたと俺も含めて5人くらいしかいないんだが。

343 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 09:05:44.41
>>341
そんな耳タコのような講釈はいいから、もっとオリジナルなコメント
キボン

344 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 09:21:14.51
>>342
悔し紛れに見当違いのことを言うなよ


345 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 09:24:53.45
>>343
俺が耳たこの講釈してるのは、圏論が言葉遊びだとか中身がないという耳タコの文句を
つけているやつがいるからだよ

346 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 09:57:30.99
>>345
「言葉遊び」ってのは俺にとっては新鮮だった。
言葉遊びと抽象化の違いは?なんてことも考えたよ。

347 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 10:27:40.07
>>341
逆だと思う
なんでこの定義になるのかわからない、というのは、もっと抽象的な立場からすると自然な定義であることが多い。
圏論の教科書はもっと抽象的に書かれるべき

348 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 10:53:38.89
>>347
>なんでこの定義になるのかわからない、というのは、もっと抽象的な立場からすると自然な定義であることが多い。
よい例があればぜひ教えて

349 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 11:04:29.17
>>346
言葉遊びというのは中身がないということを意味してるだろ


350 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 11:06:29.56
猫に小判
ドキュン学生に圏論

351 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 11:12:40.53
抽象化にもレベルがあって圏論は上位レベル
群も置換群を抽象化したものだが抽象化のレベルは低い。
それでも分からないという学生は多いが(笑

352 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 11:18:53.10
>>349
折角の「言葉遊び」って言葉をそんな貧相で否定的な意味だけに解釈するなよ。
もっとそこで圏論的にひねってみろよ。

353 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 11:20:51.42
>>352
形式をもてあそぶ

354 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 11:24:20.95
>>353
そこの「もてあそぶ」をもう少しポジティブな表現にならんか

355 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 11:29:08.92
圏論をabstract nonsenseと呼んだのはSteenrodらしいが
彼は否定的な意味で使ったわけではなかったらしい。

356 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 11:54:46.80
>>350
XXに刃物の間違いか?

357 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 14:19:45.93
>>349 >>352
じゃまず、双対というのは単なる言葉遊びか、それともこれでなにか見えて
くることがあるのか?

358 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/16(月) 14:58:12.37
>>357

>>338
>もう一つの圏論の利点はその双対性
>圏論の1個の定理を証明すればその双対定理の証明は不要である。
>一石二鳥

しばしばある圏の双対圏は元の圏と非常に異なる。
しかもそれは有用な圏である場合がある。
例えばアーベル群の圏の双対圏はコンパクトアーベル群の圏と圏同値
だからこの場合上記の双対原理は非常に有用である。

359 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 17:58:07.08
>>358
>しばしばある圏の双対圏は元の圏と非常に異なる。
これは驚いた。アーベル群のどこにその秘密が?ちょっと勉強してくる。

360 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 20:14:02.87

『意味論』などというから判りにくくなる。単に『領域理論』でいいのでは?

361 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 20:32:09.79

あと、『圏論的意味論』というのは『領域理論』の言い換えですよね?

362 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 21:21:06.24
>>354
機能的

363 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 21:30:40.44
>>360
ますます分からなくなるような

364 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 21:43:35.09
機能的形式主義(functional formalism)が圏論の思想だから機能的が一番妥当。

365 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 09:38:53.77
>364
機能的形式主義(functional formalism)の反対の思想は何なの?
特に機能的の方は? --- この訳は関数的ではないのね?

366 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 09:53:23.35
>>361
違う。圏論的意味論は、シンタックスそのままだけど、圏論の言葉にすることによって
セマンティクスを圏論的に構成するときにシンタックスそのままよりは目標が分かりやすくするためのもの。
領域理論は必ずしも圏論的にやる必要はない、いまは誰もが圏論的にやってしまうだろうが。

367 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 12:31:54.99
>>358-359
ポントリャーギンの双対定理

368 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 12:47:22.10
コテを外して驚いて見せる熊

369 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 14:21:51.27
>>366 なるほどサンクス
圏論の言葉でなされる圏論的意味論と、
圏論的にされた領域理論は、やはり何か
対応関係みたいなものがあるんですか?


370 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 19:08:47.14
>>369
強引に言ってしまえば、
圏論的意味論=シンタクスを圏論の言葉に直したもの
圏論的にされた領域理論=セマンティクスを圏論の言葉に直したもの
ってところかな。
ただしシンタクスとセマンティクスは数理論理学的な意味でね。

371 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 19:33:18.51
>>370
シンタクスとセマンティクスがトポスを通じて対応することから考えると、
圏論的意味論と圏論的領域理論は本質的には同じものかな、と思いました。


372 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 21:25:06.13
>>371
逆だよ
本質的には同じものとして統一的にとらえるために圏論という同じ道具を用いた

373 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 22:16:26.44
>>372
そうすると、圏論的意味論と圏論的領域理論は同じと思っていいんですね?

374 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 22:35:30.35
>>373
抽象レベルで同じだけど具体化すると別のモノになる

375 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 22:43:34.59
>>374
よくわかりました。ありがとうございます。

376 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 23:12:40.30
抽象じゃなくて普遍性だって。普遍的性質が同一であるときに同一視できる。
抽象的に同一というのはよくわからないよ。

377 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 23:27:23.34
そんな揚足取りみたいなこと言ってもしょうがないじゃん。

378 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 23:38:27.35
確かに傍から見ると揚げ足取りに見えるけど、意味が違う。
普遍射の構成の仕方によって、圏論でも名前違って紹介されるじゃん。

379 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 23:40:00.28
例えば、積とか押し出しとかね。

380 :132人目の素数さん:2012/01/18(水) 00:00:18.29
いらぬおせっかいだろうが、普遍性は圏論の超重要概念。

381 :132人目の素数さん:2012/01/18(水) 01:13:43.43
>>380
だったら説明してみろ

382 :132人目の素数さん:2012/01/18(水) 01:54:08.24
横レスだが、>>370で正しいんだが>>371は良く理解できてないみたいだから、補足しておこう。

> 圏論的意味論=シンタクスを圏論の言葉に直したもの

まあ、こう言ってしまえばその通りなんだが、もう少し分かりやすく言うと
ある形式的体系(シンタクス)Aに対する圏論的意味論というか圏論的モデルとは、
Aのモデルの圏論の言葉による特徴付け(Aのモデルという概念の圏論の言葉による公理化)であって
Aの具体的なモデルではない。

つまり例えば形式的体系Aとして単純型付きλ計算のケースで言えば、
その圏論的モデルがCCC(積閉方圏)であるという事は
CCCという条件を満たすような任意の具体的なカテゴリ(SetとかTopとか)の対象と射によって
単純型付きλのモデルを構成できる、という意味。

> 圏論的にされた領域理論=セマンティクスを圏論の言葉に直したもの

圏論的な領域理論の走りであり典型でもあるのはSmyth & PlotkinのSIAM論文だろうが
あれは型無しλのモデルである逆極限法によるD_\inftyの構成を圏論の言葉に写したもの。
ところが、型無しλのモデルとしては全然違ったP_\omegaやT^\omegaといった
普遍領域による手法もあり、そういう点でSmyth & Plotkinのは型無しλのモデル
(あるいはその中の外延的モデルに限定したとしても)全般を圏論の言葉で特徴付けたものではない。

圏論とくにトポスなどによって計算可能性を捉えられる「領域」(Scott理論の意味での具体的な代数・位相構造としての領域には限定しない)を
特徴付けようとする試みも一時期はあるにはあったが、その後、その方向の研究が発展しているとは聞かないから、
圏論的意味論や圏論的モデルと同等のレベル(抽象化・一般化)という意味での圏論的領域論は未だ存在していないと思う。

383 :132人目の素数さん:2012/01/18(水) 08:46:29.00
>まあ、こう言ってしまえばその通りなんだが、もう少し分かりやすく言うと
>ある形式的体系(シンタクス)Aに対する圏論的意味論というか圏論的モデルとは、
>Aのモデルの圏論の言葉による特徴付け(Aのモデルという概念の圏論の言葉による公理化)であって
>Aの具体的なモデルではない。
シンタクスAのモデルってのは、Aそのものを圏と見たときにAからの函手(あるいはその range)なので、
「Aのモデル」という概念を与えることと、「Aを圏としてみる」ことは同じこと、というか一方を決めれば他方は自動的に決まる、ということですね。

>圏論的な領域理論の走りであり典型でもあるのはSmyth & PlotkinのSIAM論文だろうが
>あれは型無しλのモデルである逆極限法によるD_\inftyの構成を圏論の言葉に写したもの。
>ところが、型無しλのモデルとしては全然違ったP_\omegaやT^\omegaといった
>普遍領域による手法もあり、そういう点でSmyth & Plotkinのは型無しλのモデル
>(あるいはその中の外延的モデルに限定したとしても)全般を圏論の言葉で特徴付けたものではない。
シンタクスAに対して、そのモデルは何か、を定義したところで、
そういうモデルが存在するかというのは別問題なんですね。
勿論、AからAへの恒等函手という自明なモデルは存在するのだけれど、
これではモデルとして役に立たない。

ここでモデルとして役に立つ、というのは、例えば以下のような利用法が念頭にある。
シンタクスAに等式理論が入っていたとして二つのラムダ式(あるいは何らかのプログラム)がそのシンタクスで等しくないことを示したいときに、
モデルである函手による値が異なれば、その等式理論ではその二つは等しいことは言えないと証明できる。

恒等函手のような自明なモデルだと、
この函手による値が異なることを示すのは等式理論でその二つが等しくないことを示すことに他ならないので、
モデルとしては何も役に立っていない。

こういう意味で役に立つモデルを具体的に作るのが領域理論の目的で、
「圏論的にされた領域理論」はその具体的な作り方を圏論の言葉で表したもの。

従って「圏論的意味論」と「圏論的にされた領域理論」は、関係はあれどもまるっきり別のもの。

384 :371:2012/01/18(水) 11:37:08.15
>>382
ええ。門外漢なものでまったくわかってないんですよ。
上の方でどなたかも書かれてましたが、『意味論』と
呼ばれるものがいろいろあって混乱しておりました。
『意味論』にも『モチーフ』みたいなものが存在して、
そういった『普遍意味論』から他の『意味論』が出てくる
ような状況を想定してみたかったわけです。妄想ですが。
せっかく『圏論的意味論』が『トポス』と結びつけられて
理解できるのだから、『圏論的領域理論』の方も『トポス』
と関係付けられるなら、その両者の関係がいっそう明確な
ものになってくるんじゃないかと期待したいところです。



385 :132人目の素数さん:2012/01/18(水) 21:47:54.99
>>381
やったろうじゃん。

386 :132人目の素数さん:2012/01/19(木) 03:41:36.68
>>383

> こういう意味で役に立つモデルを具体的に作るのが領域理論の目的で、

まあ、本来はそうなんだが、計算可能関数の集まりを捉える具体的なモデルは色々と見つかったわけだ。
でっ、次は一般的な特徴付けが欲しくなるのが人情。
そこで圏論を使おうとなるのも当然。
という訳でPaul TaylorあたりがSynthetic Domain Theory(そこの"synthetic"という語の意味や意図は
Kockの"Synthetic Differential Geometry"と同様というかそっちからの借用)と言い出したり
FioreとかPlotkinとかがAxiomatic Domain Theoryと言ってはみたんだが
現実には具体的に何か進んだのか良く分からない。俺自身は真面目にフォローしてないし。

> 「圏論的にされた領域理論」はその具体的な作り方を圏論の言葉で表したもの。

それはSmyth & Plotkinとかはね。だけど、本当の意味、つまり圏論的モデル (Categorical Model)とかと
同じ意味での「圏論的領域論 (Categorical Domain Theory)」って分野を作るのは原理的には可能で
TaylorとかFioreとかはやろうとしてたんだよ。それがどうなったのかは分からんが。

> 従って「圏論的意味論」と「圏論的にされた領域理論」は、関係はあれどもまるっきり別のもの。

今の段階(Smyth & Plotkin路線の延長という意味)ではね。ただSynthetic/Axiomatic Domain Theoryが
ある程度の形と内容を持てば、圏論的意味論の領域論への限定版としての圏論的領域論が登場することにはなる。


387 :132人目の素数さん:2012/01/19(木) 04:07:50.95
なんだ、ただの誇大妄想か。

388 :132人目の素数さん:2012/01/19(木) 15:15:56.24
数学というのは妄想によって進展することがあるかもな。

389 :132人目の素数さん:2012/01/19(木) 22:32:56.94
>>385

まだかい?

390 :132人目の素数さん:2012/01/20(金) 20:58:03.26
>>389
スマソやっぱまだきれいに説明するのは無理だわ。

とりあえず大体どういうことをいいたいのかということを言ってみると、
まず、圏論を使ってなにか対象間の関係についての性質を言う、ということをするにあたっては、
性質を明らかにしたい圏の対象間の関係が積とか引き戻しとかの圏一般の特徴的などれか図式に合致
するということを言わなくてはならない。
こういうと難しいけれど、要するに圏論を使って性質を明らかにするのだから、
まず、考えたいいくつかの対象間の関係が圏論的にどの図式にあたるのか?
ということを言わなくてはならないということ。あてはまらないものに無理やり当てはめて
圏論からこれこれの性質が言えるはずだ、をやってしまうとトンデモだからな。

というわけで、まず第一は異なる圏の対象の間の関係の同一性(というか合致だな)をどのようにいうか
というところが問題になるのだが、そこで有効に活用されるのが普遍性だ、というのが自分の主張。

それで、ここからがやってみようとしたけどうまくいかないところで、普遍射の存在はコンマ圏に直すとわかるように
始対象や終対象の存在と同じ、始対象の特徴はいくつかの始対象があるならばそれらは互いに同型というところで、
ある普遍射をはじめにもつ圏が圏同値かなにか同じものだということがいえれば、
それら普遍射はコンマ圏の対象としては始対象なのだから互いに同型(合致している)といえる
という理屈づけだ、というようなことを言いたいのだがうまくできない。

ここまでで、長くなってなにを言いたいのかわからなくなったかもしれん。
言いたいことは、積とか引き戻しを圏論的につかうにあたっての理論付けは普遍性で、
普遍性の有効性は始対象、終対象の性質にある(はずだ)、それを説明しようと思ったが
できんかった。だれか教えてください。

391 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 05:54:11.16
分かってないやつが無理に説明しようとすると・・・
屑哲みたいな、おしゃべりを垂れ流すことになる。

392 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 05:55:03.18
そう、390は普遍性の本質が分かっていない。

393 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 07:10:23.06
圏論は集合論を駆逐しますか?

394 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 07:28:08.81
>>391-392
まったく返す言葉もない。
悔い改めるし、圏論使えるようになりたいので教えてください。

395 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 07:41:54.03
>>393
ユーザーは、→ヲタも普段はユニバース辺りで妥協して、仲良くしているよ

396 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/21(土) 08:33:42.59
個人的には圏論で一番重要な概念は表現可能関手だと思う。
極限も、従って積も差核も引き込みも表現可能関手で解釈出来る。
普遍射も随伴関手も表現可能関手で解釈出来る。

表現可能関手が意味を持つのは米田の埋め込み定理が成り立つからだから
米田の埋め込み定理が圏論で一番重要とも言えるが。

397 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/21(土) 08:50:59.33
>>396
>極限も、従って積も差核も引き込みも表現可能関手で解釈出来る。

>極限も、従って積も差核(equalizer)も引き戻し(pullback)も表現可能関手で解釈出来る。

398 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 09:24:08.10
数学セミナーの圏論の歩き方が気になるからバックナンバーから購入するか迷っているんだが、どうでっか?読んでる人いる?

399 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 09:27:55.64
図書館で見れないの?

400 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 10:05:49.73
>>396
何か違う。そもそも米田の補題が普遍性に関する定理だからそう言えるだけじゃね。
表現を定めること=普遍要素を定めることじゃん。

401 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/21(土) 10:15:08.99
>>400
普遍性って何よ

402 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 10:18:52.28
米田の補題に関してだけいえば、自然変換(射の族)に共通する性質のことだな。
すべての射を一意的に分解できる要素なり射(の性質)

403 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/21(土) 10:34:55.81
米田の埋め込み定理
Set を小さい集合の圏とする。
C を局所的に小さい圏とする。
C^o を C の双対圏とする。
Func(C^o, Set) を C^o から Set への関手全体のなす圏とする。
X ∈ C に対して関手 Hom(−, X):C^o → Set を h_X と書く。
X に h_X を対応させることにより
関手 h: C → Func(C^o, Set) が獲られる。
このとき h は充満忠実である。

404 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/21(土) 10:35:54.81
>>403
>獲られる

得られる

405 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 10:41:35.87
充満忠実であることは米田の補題からで、それはhom函手から表現可能関手への自然変換と普遍要素が
一対一対応している(普遍要素から自然変換が一意的に定まっている)からじゃん。

406 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/21(土) 10:44:29.53
>>403により C は Func(C^o, Set) の充満部分圏と見なされる。
そこで F ∈ Func(C^o, Set) が与えられたとき F ∈ C であるかどうかが問題になる。
F ∈ C のとき、即ち F が h_X と同型になるような X ∈ C があるとき F を表現可能という。

407 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 10:45:52.88
プロ表現可能関手は使わないのか?

408 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 10:46:38.38
いや俺もわかってないが。

409 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/01/21(土) 10:47:07.76
>>405
だから何?

410 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 10:54:20.84
わからないから、補足してみたんだよ。

411 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 11:28:36.71
>>410
わからないって何が?

412 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 11:37:57.69
>>410は何が言いたい?
米田の埋め込み定理じゃなくて米田の補題が圏論で一番大事といいたいのか?
それだったら大差ないだろ
米田の埋め込み定理は米田の補題の(トリビアルな)系だから
米田の埋め込み定理より重要と言おうと思えば言えるが

413 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 12:05:58.36
充満忠実である理由が書いてないからわからないってというのと、
>>409 の返しがイマイチだった適当に切り上げたかった。

414 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 13:17:16.19
>>398
既存の書籍、論文と変わりなし。もっと風変りでもよかった。

415 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 19:27:26.77
教えてくれ。
圏論でプログラム仕様を書いた例を見たいんだがどこかにある?

416 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 20:05:17.26
>>415
情報処理学会の特集記事のpdfがオンラインで読めたはず
抽象度が低くていいならHaskellのコードを見ればいいと思う

417 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 20:29:29.43
>>413
クマは都合が悪くなると、いつも居直ってそう言うんだw
自分の無知を認めることが不可能なんだなwww

418 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 20:37:37.71
誤りや無知を絶対に認めないクマー

419 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 20:41:09.75
>>418
それこそが鮮人魂というもんじゃよ。
まさに盗っ人猛々しいを具現しとる。

420 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 21:29:06.72
>>416
サンクス。だが、これのこと?
http://www.ipsj.or.jp/07editj/promenade/
その特集のタイトルの断片でも分かる?

421 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 21:36:46.91
>>420
自分自身を出力するプログラム が一番それっぽい気がする

422 :132人目の素数さん:2012/01/22(日) 23:02:00.12
>>421
たしかに。しかし、小さなおもちゃでもよいので、一応何かのシステム仕様
と呼べる一まとまりの記述例が見てみたいのだが、この記事の中には
そういうのは無いようだが?圏論はソフト仕様が書ける決定版みたいな
言われ方をしているのだが、案外その記述例はあんまり無いのかな?

423 :132人目の素数さん:2012/01/23(月) 00:04:26.23
圏論をグラフィカルに扱えるソフトウェア作ってる。

424 :132人目の素数さん:2012/01/23(月) 21:44:18.38
んなもん自分でしらべろよ。

425 :132人目の素数さん:2012/01/24(火) 23:10:25.01
>>422
「ソフト仕様が書ける」の意味は、「実際のソフト開発に耐えうるソフト仕様が書ける」ではなくて、「論文を書くときに数学的解析に耐えうるソフト仕様が書ける」だから

実際のソフト開発で使える圏論仕様言語の普及は、自動デバグ技術の改良にかかってる

圏論で書いた仕様言語そのものを見たければ、「論理プログラミング コンビネータ 圏論」あたりをキーワードにして論文をあさってみれば良いかと

426 :132人目の素数さん:2012/01/25(水) 01:21:27.29
ラムダ計算を「プログラムが書ける」というのと同じだな。

427 :132人目の素数さん:2012/01/25(水) 18:58:28.47
初心者です。教えて下さい。
自然変換の「自然(natural)」はどういう意味なのでしょうか?
自然変換の例を見ても特に自然という感じはしないのですが。

428 :132人目の素数さん:2012/01/25(水) 20:20:33.43
線型代数学
http://www.amazon.co.jp/dp/4785313013

429 :132人目の素数さん:2012/01/25(水) 20:36:34.47
>>425 >>426
ありがと。
>「ソフト仕様が書ける」の意味は、「論文を書くときに数学的解析に耐えうるソフト仕様が書ける」だから
>ラムダ計算を「プログラムが書ける」というのと同じだな。
それでよかったんだ。
もちろんモナドを使った例を見たいのだが。
>「論理プログラミング コンビネータ 圏論」
あんだけ騒いでんだからすぐに出会うくらいでもいいと思うが、
なかなかヒットせんわ。もうちょっとやってみるが。

430 :132人目の素数さん:2012/01/25(水) 21:01:29.00
初心者です。続けて教えて下さい。
圏論は技術的には、抽象代数や関数(ラムダ計算)の一般化とみえます。
(だからKummerさんなどの代数専門家や関数プログラマにはまず技術的
な点から理解が容易なのだろうと思います。)
しかし圏論は抽象代数や関数に対して何らかのプラスアルファあるいは
飛躍があるはずだと思いますが、それは何なのでしょうか?
飛躍には技術的なものと思想的なものがありそうですが、それぞれその
内容はどんなものでしょうか?それらについて書いたなにかよい文献は
あるでしょうか?

431 :132人目の素数さん:2012/01/25(水) 21:01:47.40
この辺か…

http://arxiv.org/pdf/1009.2793v1.pdf
http://arxiv.org/pdf/1012.4895v1.pdf
http://arxiv.org/pdf/1011.6491v2.pdf
http://arxiv.org/pdf/1102.4769v1.pdf
http://arxiv.org/pdf/0808.2953v4.pdf
http://arxiv.org/pdf/1201.3108v1.pdf
http://arxiv.org/pdf/1010.5023v1.pdf
http://arxiv.org/pdf/1109.0784v1.pdf

ガチコードで見たければParsecのコードをのぞけばいいと思う

432 :132人目の素数さん:2012/01/25(水) 21:05:01.26
arXiv久しぶりに開いた
http://arxiv.org/pdf/1109.0782v2.pdf
http://arxiv.org/pdf/cs/0609104v1.pdf

433 :132人目の素数さん:2012/01/25(水) 21:13:08.27
>>431 >>432
こりゃありがと。
じっくり見てみるわ。


434 :132人目の素数さん:2012/01/25(水) 21:27:33.10
さようなら。

435 :132人目の素数さん:2012/01/27(金) 05:15:52.92
圏論揚げ

436 :132人目の素数さん:2012/01/27(金) 16:56:49.64
教えてください。
随伴というのは、逆、裏、対偶となにか関係ありますか?

437 :132人目の素数さん:2012/01/28(土) 00:09:36.28
逆裏対偶という意味を持たせようとおもったらトポスを持ってこないとダメな気がする

438 :132人目の素数さん:2012/01/28(土) 00:24:19.80
>>437
逆裏対偶という論理学の概念をそのままもってきたのでトポスなどを連想させてしまったのですが、
逆は逆関手くらいの意味でした。裏関手や対偶関手なんていうのは耳にしませんが、でも随伴というのは
こういう意味での(どういう意味かと言われそうですが)真偽概念が入らなくても、逆操作や裏返し操作
と関係するのではないかという質問でした。どうでしょうか?

439 :132人目の素数さん:2012/01/28(土) 00:47:03.20
>>438
裏返しというより、矢印の付け替えという気がしないでもない

440 :132人目の素数さん:2012/01/29(日) 10:17:29.50
フローチャートの復権を唱えている圏論学習者がいたが、矢印使いのセンスって
結局その程度かもしれんな。矢印って中途半端な記号だな。形の法則ってのも思い出すな。
あれは消えたんだろ?(ああこれは439とは関係ないコメントだよ。)

441 :132人目の素数さん:2012/02/02(木) 20:47:26.95
ほら集まらなくなった

442 :132人目の素数さん:2012/02/02(木) 21:30:57.59
自分は予め予想していたけれど、周りが従わなかったので予想していた良くないことになった
みたいな表現は使わないほうがいい。誰でも言えるし。

443 :132人目の素数さん:2012/02/03(金) 18:47:21.75
ちんこ好き集まれ!

444 :132人目の素数さん:2012/02/03(金) 19:07:19.18
イコライザーとプルバックとプッシュアウトの意味がやっと分かった
この感動、誰かに伝えたい

445 :132人目の素数さん:2012/02/03(金) 19:23:02.19
>>444さんの頭の中で何かがつながったんだと思いますが、何と何がつながった感じですか?

446 :132人目の素数さん:2012/02/03(金) 20:55:02.02
>>444
是非教えてほしい!

447 :132人目の素数さん:2012/02/03(金) 21:07:59.53
じゃあinitialとterminalもわかったのか。

448 :132人目の素数さん:2012/02/03(金) 21:53:22.40
>>444
嘘だろう?それ分かるはずない概念なんだが。

449 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 11:46:45.97
普通の連続関数の何を抽象化したモノなのか
集合論ではどう表現されてたのか
トポスでどう利用されるのか

が分かった

450 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 20:13:37.41
>>449
この人エライと思うけど、結局、それでどうしたと思わなかった?やっぱり感動した?
例えばPBやPOはposetの例が分かりやすいが、俺はそれでどうしたと思う。
とにかく圏論には449のように理解するまでに難儀するがその割にはそのうまみがはっきりせん概念が多いと
思うんだが、これはなんでかな?

451 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 20:28:04.52
>>450
集合論と論理学を拡張できる
例えば、論理学で様相論理を拡張する論文を書くときに、圏論で定式化するとカッコ良くね?

452 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 20:47:56.86
>>451
レスありがと。
>例えば、論理学で様相論理を拡張する
単なる例なのだろうが、この文がわからんかった。論理学の分野において
既知の様相論理をなんらかの点で拡張するというような意味だよね?w
>圏論で定式化するとカッコ良くね?
だから、それは、圏論のどこがカッコいいのかもっとハッキリしないと

453 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 20:55:04.94
>>452
圏論のカッコいいところは集合の要素ひとつひとつに言及せずに射だけで話を完結できる点
集合論で説明するときは集合がwell-defineか検証した上で 具体例→抽象化→具体例 という手順が必要だけど、圏論だといきなり 抽象→具体例 で説明できる

454 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 20:55:10.28
>圏論で定式化するとカッコ良くね?
オレはアインシュタインの原論文のように、数学は初等的でもとにかく言いたいことが
有る論文がカッコ良いと思うんだ。

455 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 21:03:45.46
矢印が本質だから、工夫さえすれば集合論よりも簡単に説明できると思う

456 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 21:10:32.17
>>453
すまんが2行目以降わからんかった。
>いきなり 抽象→具体例 で説明できる
なにか、あれだよ、って例ある?
イコライザーやプルバックやプッシュアウトがそれの役にたつか?

457 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 21:13:46.82
>>455
>矢印が本質
あんまりだw そんな説明ではわからんでしょ。射が本質だと言っているのだろうが。


458 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 21:21:08.27
ラッセルとゲーテルのせいで…

459 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 21:47:51.84
>>456
プルバック(とプッシュアウト)で作ったトポスの無数に考えられる具体例の一つが述語論理

460 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 22:01:05.57
>>459
それで我々の知見がどう深まる(あるいは広がる)のか、というのが分からん。
というか、深まりはしないと思うんだが。
例えば、述語論理はプルバックとプッシュアウトからだけ作られるわけではないだろ。
具体例の一つが述語論理なんていっても、一般化のしすぎだろ。

461 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 22:05:11.30
むしろ述語論理からプルバックとプッシュアウトを除いたらどんな論理になるか
を見せた方が、圏論としては面白いんじゃないか?

462 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 22:44:07.77
構造付きの集合の一つの具体例が四次元多様体とかいうのと
同じくらい無意味だな

463 :132人目の素数さん:2012/02/04(土) 23:05:28.28
>>462
同意

464 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 12:40:28.65
>>462
その定義だとラッセルのパラドックスが出てくる

465 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 13:10:05.43
>>460-461
トポスとして論理を眺めたら構造が4つの射だけになった
これが様相論理の最小単位(古典論理の同値律、矛盾律、排中律のうち排中律を省いたモノ)

この構造の射と対象からプルバックの性質を除くと論理演算が束にならない

466 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 18:24:36.32
>>465
>これが様相論理の最小単位
なんで様相論理?
>この構造の射と対象からプルバックの性質を除くと論理演算が束にならない
それはそうだろとは思うが。
でやっぱり、何が新たに見えるようになったのかと思う。

467 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 19:38:37.99
>>466
様相論理 ⊃ 古典論理

集合論からは決して見ることのできなかった4本の射という論理の本質が新たに見えるようになった

468 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 19:47:30.26
>>467
4本の射とは?

469 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 19:53:10.21
f, true, !, x_f

470 :132人目の素数さん:2012/02/07(火) 16:56:41.49
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
     /   /:::::/           \
     /    /::::::/          | | |  |
     |   |:::::/ /     |  | | | |  |
      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
   |      /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ  ヽ、  |
  |      |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、  /:\__/‐、
  |      |/:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::O::| '、::| く::::::::::::: ̄|
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471 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 19:00:46.22
今月号(3月号)の圏論の歩き方はおもしろい

472 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 20:46:35.19
canonicityを超えられんというのの意味を教えて欲しいわ。
あと現時点で正準と標準をごっちゃにする根拠もってるのか知りたいわー。

473 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 21:32:57.86
>>472
へー、読み込んでるね。正準と標準なんて気づかんかった。どういう意味?
あそこに書かれている圏論の限界なんて、(少なくともまあ当分は)まったく
気にならない(気にすべきでもない)限界だと思ったけどね。
もっとほんとの弱点を言ってほしい。

474 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 23:20:47.03
そういう返し方は良くないよ。答えにくいし。
わざわざ直に集まっているんだから内々で意思統一ぐらいしておいてよ。
弱点なんてもうほぼわかってるだろ、圏論使っても話がほぼ噛み合わないところだよ。

475 :132人目の素数さん:2012/02/13(月) 23:06:01.99
素朴集合論があったから集合論は広まった
素朴圏論みたいなもんがないから何か専門を持ってる数学者は手を付けようとせず広まりようもない

476 :132人目の素数さん:2012/02/13(月) 23:14:02.35
>>475
集合論が広まったのは、comprehension principle があったから
この comprehension principle がルーズで使い勝手が良すぎたから縦横無尽に駆使でき、いろいろな分野に応用できた
しかし、comprehension principle 自身からラッセルのパラドックスが生まれ、素朴集合論の面倒臭い部分が暴露されてしまった

それを克服する公理集合論やNBGは、大して広まっていない
圏論はそもそもが公理こそが本質なので、公理集合論よりは広まっている

477 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 08:19:18.10
>>475
同感かもしれない。
もうちょっと話してくれないか?
>>476
>圏論はそもそもが公理こそが本質
これはどういうこと?圏論の公理ってどのこと?

478 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 21:07:06.74
>>477
圏は圏の定義(オブジェクト、射)だけが本質
抽象度が高すぎるので中身はどうでもよくなってしまっていて、この定義だけが圏論の本質といえる

479 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 22:14:33.44
そんなん群論は群の定義が本質、とか言うのと同じで
無内容な気がするけどね

480 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 22:22:29.52
>>479
だからはじめ数学者は圏論なんか無内容だと言っていた

群論ははじめに具体例があってそれを何百年もかけて抽象化していったけど、圏論はいきなりはじめから抽象物を目の前に出されたので数学者ですら面食らった

481 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 22:33:43.44
>>478
射だけが本質というのは単純化し過ぎだろう。
圏の定義の引用も極めて粗雑過ぎる。
もっとまじめに議論してくれ。

482 :132人目の素数さん:2012/02/14(火) 22:34:14.39
俺は「群論は群の定義が本質」という言い方が無意味だとは言ったけど
群論とか圏論の研究が無意味だとは言ってないけどね

483 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 01:17:03.96
>>481-482
群の定義を群論の本質と呼ぶのが無意味な理由は、群は閉じた計算の最少単位をモデル化したものなので、群論には計算という目的が先にあるから。
群論の本質は計算。
一方、圏論の本質は射(とオブジェクト)の定義だけ。

「群論て何なの?」という問には「計算がwell-defineされる最少単位の分析」と答えが正確で親切。
「圏論て何なの?」という問には「圏の定義から演繹できるモノ」という答え以外はすべて間違ってる。

圏論初期の数学者たちからの「で、何が目的なの?」というツッコミの嵐を思い出すべき。


484 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 04:26:51.45
ピントずれてるな
群も1個の対象からなる圏
群は具体例が沢山あるが圏はない?
圏だって腐るほどあるだろ

485 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 04:34:37.36
抽象度が高いから分かりにくいと正直に言えよ
それに対する答えはあんたの頭が固いだけ

486 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 04:37:20.73
幼稚な人間ほど抽象的なものが理解出来ない
未開の人間は1、2、3までしか数を数えられれないらしい。
それ以上は沢山となるw

487 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 08:17:04.47
>>485 >>486
抽象と具体(応用)の対が要る。

488 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 08:30:17.58
>>487
圏論の命題の証明を追うのに具体例は不要
むしろ邪魔

しかし、圏論を応用する場合は別

489 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 08:32:11.51
圏の例は腐るほどあるから具体例の心配は要らない
具体例が思い浮かばないって中学生か?

490 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 08:38:18.04
圏の例が少ないから問題なのではない
むしろ多すぎるのが(ドキュンには)問題なのかもしれない
空気を普段意識しないのと同様

491 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 10:02:01.82
>>488 >>489 >>490
この人たちは、まだ学習しかしたことがない学生さんなのだろうと思う。
抽象(記号操作)だけなら、あなたたちは機械より劣る。
ちなみに
>圏の例は腐るほどあるから具体例の心配は要らない
良い例が要る
>空気を普段意識しないのと同様
圏論やってるにしては喩えが下手

492 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 10:17:21.75
>>491
抽象だけとは言ってない
しかし、仮に「だけ」だとして今のところ機械に圏論の命題の大部分は
証明出来ていない(一部の単純な命題は別)。
だからその点で人間はまだ機械より上

>良い例が要る

例えば集合の圏は良い例ではないのか?

>圏論やってるにしては喩えが下手

それはあんたがその喩えを理解するだけの見識が無いだけ

493 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 10:29:20.52
良い例が思い浮かばないから圏論が理解出来ないのか?
それは圏論の責任ではない
あんたの無知と思考力、想像力の不足が原因

494 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 10:31:03.32
要するに圏論が理解出来ないと言ってるやつは
1、2、3までしか数えられない未開の土人と同じようなもん

495 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 10:39:08.31
圏論にとって集合の圏ほど良い例はないだろ
圏論のほとんどの概念は集合の圏で実現されている。
その他にはホモトピー圏も良い例
ホモトピー圏こそ抽象圏の代表例




496 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 10:55:53.30
例えば 9999999999×3333333333 の計算を考えてみよう。
良い具体例が思い浮かばないからこの計算は理解しづらいのか?
違うだろ
抽象的な計算はそれ自体で十分理解可能だし具体例を必要としない

497 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 10:58:22.86
未開の土人にとっちゃ>>496は絶望的に理解不能だろうがw
お前等のことだよ

498 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 11:15:34.45
集合圏は圏論の概念の例ではあるが、応用の例ではないだろう。
それから、圏論は未開の土人(の思考)こそ尊重するのではないかなw
矢印が分かるだけでも十分なのに3まで分かるというんだから。

499 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 11:20:02.06
>>496
だから、そんな計算は機械は即座に理解することだと言っている。さっきから

500 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 11:22:11.88
>>496
圏論の計算のレベルwww

501 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 11:33:14.66
>>498
>集合圏は圏論の概念の例ではあるが、応用の例ではないだろう。

だから何?

>それから、圏論は未開の土人(の思考)こそ尊重するのではないかなw

なわけないだろ

502 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 11:39:04.75
>>499
だから何?
だから圏論は機械にまかせておけばよいと?
だから圏論なんて人間のやることではないと?
だから圏論なんて無意味だと?

因みにさっきからいってるけど
圏論のほとんどの命題は計算機で証明出来てないから

503 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 11:44:40.55
理論と応用は別
これをまず理解しような
応用がすぐ見つからないから理論は無意味というのはドキュン
あわてる乞食は貰いが少ない
ドキュンは目先の利益しか考えない
だからいつまでたっても貧乏

504 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 11:48:06.77
未開の土人にとっては原子核の崩壊実験なんて無意味もいいとこ
しかし、原爆一発で未開の土人は全滅

505 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 11:54:58.62
>>501 >>502 >>503
言いたくなかったが、やっぱりこりゃダメだ。話が聴けてないね。

506 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 11:58:32.59
>>505
負け惜しみ乙

507 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 12:02:09.11
良い応用がすぐに見つからないから圏論は無意味だというのか?
何回も言ってるがそれは圏論の責任ではない
あんたの無知に過ぎない

508 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 12:05:55.92
>>504は意外とまじ
圏論は原爆といっては言いすぎだが威力は大きい
ある人は圏論は飛び道具だと言ってそれを使うのは卑怯だと言うほど

509 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 13:01:02.04
>>491
>抽象(記号操作)だけなら、あなたたちは機械より劣る。

圏論をなめてるだろ
自明でない圏論の命題の証明を理解したことがあるのか?
たとえばアーベル圏の埋め込み定理
これが「今の」コンピュータで証明出来るなら俺の負けでいい

510 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 15:31:33.58
>>496
因みに 9999999999×3333333333 これを手計算するのにまともにやるのはアホ

(10000000000 - 1)×3333333333 = 33333333330000000000 - 3333333333 を計算する

511 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 20:42:46.38
アーベル圏の埋め込み定理は圏論を
述語論理上に定式化した公理系から導かれる定理と言う訳じゃないでしょ

群論のCayleyの表現定理とかとほとんど事情は変わらんよ
難易度が違うだけで

>>509は見かけ上の高級さに騙されてるだけ

512 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 21:18:15.61
>>511
>アーベル圏の埋め込み定理は圏論を
>述語論理上に定式化した公理系から導かれる定理と言う訳じゃないでしょ

だから何?

>群論のCayleyの表現定理とかとほとんど事情は変わらんよ
>難易度が違うだけで

だから何?
今のコンピュータで証明出来るの?

> >>509は見かけ上の高級さに騙されてるだけ

見かけ上の高級さに何をどう騙されてるの?

513 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 21:35:40.34
>>484
それなら、 「群をわざわざ圏まで抽象する必要性は何か?」 という問いに答えるべき

514 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 21:51:08.59
>>495
圏の本質を例示しながら理解してもらうという点では、集合の圏を例に出すのはあまり良くない
理由は、説明の際に id 以外の射を工夫しないと説明が途中で破綻するから

圏の定義だけ目の前に出して、圏はこれがすべてです、が一番良い

515 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 22:06:36.50
>>514
>理由は、説明の際に id 以外の射を工夫しないと説明が途中で破綻するから

どう破綻する?

516 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 22:15:32.92
>>514
>「群をわざわざ圏まで抽象する必要性は何か?」

抽象化の利点が得られる。
例えば群論に圏論を応用しやすくなる。

517 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 22:17:02.74
>>516の>514は>>513の間違い



518 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 22:18:27.22
単純に実装されてないだけで
NBG上に展開された理論として
やろうと思えば労力さえかければ必ずできることを、
「今のコンピュータでは証明できない」とか言っちゃうセンスが分からん

519 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 22:19:17.23
圏論の群論への応用って例えば何ですか

520 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 22:24:13.35
>>511
>アーベル圏の埋め込み定理は圏論を
>述語論理上に定式化した公理系から導かれる定理と言う訳じゃないでしょ

どうせ述語論理上に定式化するならZFCを定式化すればいい。
そうすればほとんどの数学の命題が定式化出来る。

521 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 22:27:33.55
>>518
>やろうと思えば労力さえかければ必ずできることを、

コンピュータで数百万年かかるのを常識的には出来るとは言わない。

522 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 22:29:23.25
>>519
例えば群の表現論で使われてるだろ
詳しくは知らんが

523 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 19:50:48.15
圏論は公理が全てだと言ってる人ってもしかして
今月号の数学セミナーの談話に載ってたような
圏論はトップダウン型の理論だとかそういうことが言いたいのかな
とてもそうは解釈できないけど

524 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 22:04:49.24
どんな理論も公理が全てではあるのだが、その人はなぜそんなに必死に言ってるの?

525 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 23:07:22.53
>>523
トップダウンというのも間違い
「トップ」だけ

526 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 23:19:03.81
>>524
他の理論では、公理と定理と「表現」が必要

圏は表現をはじめから度外視してる

527 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 23:22:51.63
>511
>群論のCayleyの表現定理とかとほとんど事情は変わらんよ
>難易度が違うだけで

それを言ったら圏論に限らず数学の命題は全部、公理から単純な演繹で導かれるという点で
ほとんど事情は変わらないだろ
難易度が違うだけで

悔し紛れにくだらんことを
負け惜しみもいい加減にしろよw

528 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 23:24:30.87
>>524
結果が重要

529 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 23:24:34.30
>>526
表現とは何?

530 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 23:29:48.02
>>529
別の構造への(準同型)写像

531 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 23:29:50.06
公理が全てってどういう意味よ
公理から全ての命題が導かれるという意味なら当たり前だろ
圏論に限らない

532 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 23:33:54.82
>>530
それなら関手は表現だろ
圏論でも表現を度外視するどころか使いまくりじゃんw

533 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 00:05:58.11
>>531
集合論が基礎にある場合、ある公理系から導かれるすべての命題のうちのいくつかは、別の公理系を用いないと証明ができない
だからこそ数学基礎論として公理そのものである圏に期待が集まった
集合論では不都合な定理をしらみつぶしに探し出してそれを証明するしか公理の階層を分析できない
あと、表現は公理からは出てこない

>>532
関手は圏と圏の間の射
他の構造への写像ではないので、表現とは呼べない

534 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 00:07:27.58
ぽえむだねー

535 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 00:26:53.03
>>533
>集合論が基礎にある場合、ある公理系から導かれるすべての命題のうちのいくつかは、別の公理系を用いないと証明ができない

矛盾してる文章だな。
「ある公理系から導かれるすべての命題のうちのいくつか」はその公理系で証明されているから。
「別の公理系を用いないと証明ができない 」命題になり得ない。

536 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 00:32:37.30
>>533
>関手は圏と圏の間の射
>他の構造への写像ではないので、表現とは呼べない

例えば群 G の置換表現というのは G から集合 S の自己同型群 Aut(S) への準同型のこと。
あんたの定義だとこれは同じ群という構造への写像だから表現とは呼べないことになる。

537 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 01:31:09.51
>>533
中途半端だな、自然変換とでも言っておけばw

538 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 02:06:13.22
>>533は圏論の公理系だけから
環上の加群の圏の性質とかが出て来ると思ってんの?

そこらへんは集合論よりもむしろ具合が悪いと思うけど。
集合論だと一応ZFC乃至BGの中で定義から証明まで全部できるからね。

あと
>集合論では不都合な定理をしらみつぶしに探し出してそれを証明するしか公理の階層を分析できない
とか書いたら圏論の方が独立性証明が得意だと言っているように読めるけど
そこらへんも寧ろ逆だと思う

539 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 03:24:27.32
>>533
>集合論が基礎にある場合、ある公理系から導かれるすべての命題のうちのいくつかは、別の公理系を用いないと証明ができない

例えば連続体仮説みたいなもののことを言ってるのか?
それなら集合論に限らないと思うが。
どんな公理系だろうとその中の命題でその公理だけからは証明出来ないものが存在するというのは
ゲーデルが証明したと聞いたが(俺の勘違いか?)。

540 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 04:28:39.96
圏 C というのは特殊な代数系の一種と見なせる。
群とは違って演算(射の合成)はすべての射の対 (f, g) に対して必ずしも定義はされないが。
関手はこの代数系の準同型である。
こう考えると圏論をことさら特別扱いする必要はない。
もう一つ通常の代数系と異なるのは射の全体が集合とは限らずクラスであること。
しかし、これも適切な注意をしていれば通常問題にならない。
なんならGrothendieckの宇宙を導入して射の全体を集合と考えることも出来る。

541 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 07:10:18.36
>>539
おまえの勘違い。
「その中の命題でその公理だけからは証明出来ないものが存在」しない公理系はたくさんある。
たとえば代数閉体の理論などはその例。

542 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 08:28:02.66
圏論の公理系はゲーデルの第1不完全性定理に当てはまらないというのか?
仮にそうだとしてもその公理系が自然数論を含まなければ
通常の数学をその上で展開するための公理系には使えない。

ゲーデルの第1不完全性定理
自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。

543 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 08:37:00.27
このスレで話題になってるのは
たくさんある種々の公理系じゃなくて圏論だよね。
代数閉体の理論が完全かどうかなんてどうでも良い。
圏論のsyntax上完全な公理系があるの?それは初耳。

いずれにせよ、公理かどうかが機械的に判定できて、
しかも数論の初歩的な命題をまともに証明できる理論ならば必然的に不完全になる。

圏論の良さはたくさんあると思うけど、強調点を間違っているよ

544 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 10:13:55.14
>543
>圏論の良さはたくさんあると思うけど、強調点を間違っているよ
同意!

545 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 10:16:07.04
だれかモナド概念の必然性を説明してくれる人いる?

546 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 11:23:53.30
>>533は数学を良く知らないだろ。
圏論が計算機科学で使われるようになってこういうのが数学板に来るから話が噛み合わない。

547 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 18:08:26.19
>>535
公理からの「導出」の正しさが別の公理系を用いないと証明できない

>>536
自己同型写像は表現だが、表現は自己同型写像ではない

548 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 18:28:29.70
>>538
別の言い方をすると、そもそも集合や群の公理は、定義ではなくむしろ「性質」

群の例で言うと、「結合則、逆元と単位元の存在が満たされて、演算が閉じてるモノの集まり」が群の定義だけど、これは陽に出てこない制約がたくさんある
適当にモノを集めても群にはならない
つまり、どういう集まりなら群になるのか定義からは分からない

だから、この「群の構造を研究する=群の公理を研究する」という変な話が出てくる

一方、圏の方は公理からは何も出てこない
射から対応という概念すらも取り去って可能な限り単純にした構造だから、圏の公理には陰に隠れた秘密は何もない
圏の定義にいろいろな制約を陽に加えることによって、はじめて関手や表現が出てくる

つまり、極論すれば、公理が複雑すぎて分からないからこれを分析する必要があるのが群論や集合論で、一方、再単純な公理に構造を付加して複雑なモノを構築しようというのが圏論

549 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 18:36:37.24
>>542
自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。

そのような命題を証明・反証できれば、それを証明・反証した公理系は、元の公理系とは本質的に異なる公理系である。

圏に部品をくっつけたり取ったりすることによって、どの公理が公理系の違いを分ける本質だったかが分かる。

550 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 19:40:01.94
>>548
>つまり、どういう集まりなら群になるのか定義からは分からない

それを言うなら圏だって同じじゃないの?
どういう射の集まりなら圏になるのか定義からは分からない

551 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 19:44:21.86
>>547
>自己同型写像は表現だが、表現は自己同型写像ではない

誰も表現は自己同型写像であるとは言ってない。
突然、突拍子もないこと言ってどうした?

552 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 19:53:26.96
>>549
>圏に部品をくっつけたり取ったりすることによって、どの公理が公理系の違いを分ける本質だったかが分かる。

仮にそうだとして基礎論専門以外の大多数の数学者には関係ない
大多数の数学者はZFCというか素朴集合論で何不自由なく仕事してる。

553 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 20:14:27.39
>>550
モノの集まりをもってくればそのまま圏になる
idだけあけば他の射はあってもいいしなくてもいい

射の合成が要請されるのは、codomがdomが等しいときだけだから、圏にならない集まりを構築する方がテクニックが必要

554 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 20:17:04.78
>>552
基礎論専門以外の大多数の数学者には圏論は必要ない
数学基礎論にタッチしない分野の大多数の数学者は圏論なしで何不自由なく仕事してる

555 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/17(金) 20:26:54.65
>>553
>モノの集まりをもってくればそのまま圏になる

それで小さい圏はどう定義する?

556 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 20:30:52.10
>>554
>数学基礎論にタッチしない分野の大多数の数学者は圏論なしで何不自由なく仕事してる

そんなことはない
例えば代数幾何では圏論はほとんど不可欠

557 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 20:36:39.54
>>554
そもそも圏論は位相幾何で必要になったから考え出された
基礎論のためじゃない

558 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 20:40:21.17
>>555
圏の公理に各Hom setが空か単元かという制約を加える

559 :523:2012/02/17(金) 20:48:15.83
敢えてエスパーすると、
圏というのは著しく一般的な概念なので
公理だけからは非自明な性質はほとんど何も帰結しないし、だからこそ良い
その圏がさらにどういう性質を満たす圏であるかが圏論的に重要な問題となる、
みたいなこと言いたいのかな

だとしたら何となくこれまで言ってたことも分かる気がするけど
ただ集合論や不完全性を引き合いに出してるところは
ほぼ全部誤解だよ

560 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 20:55:56.51
>>556
代数幾何と位相幾何は数学基礎論にタッチする
不変量が幾何公理系の選択(ユークリッド幾何か非ユークリッド幾何か)に依存するか示さないといけないから

射(の双対)だけに注目する圏論が必要になったのはこういう経緯による

561 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 20:59:07.73
電波か。相手にしてた人ご苦労様。

562 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 21:00:24.43
ユークリッド幾何か非ユークリッド幾何か?
そんなこと研究してる研究者は
圏論が出来たときにはほとんど居なくなってただろ
デタラメ言うな

563 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 21:02:26.37
>>562
幾何不変量が幾何公理系によらないことを圏論を使わずに証明できますか?

564 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 21:04:24.32
>>558
質問の意味が分かってないな
ある圏の射の全体が集合かクラスかの区別をどうつける?

565 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 21:11:37.40
むしろユークリッドと非ユークリッドの互換性よりも、代数と幾何をドンブリに入れるために圏論が要求された気がしないでもない

566 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 21:13:31.54
>>559
>圏というのは著しく一般的な概念なので
>公理だけからは非自明な性質はほとんど何も帰結しないし、だからこそ良い

圏がそれほど一般的な概念とは思えないが
射の結合律はかなり強い制約
圏よりもっと一般的な概念で有用なのは有向グラフ
これは圏から射の合成を除いたもの
有限有向グラフはquiverと言って体上の有限次多元環の表現論で有用

567 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 21:16:21.53
>>564
オブジェクトに言及しないかぎり区別はつかない

568 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 21:28:10.92
圏論スレっていうと基礎論厨と計算機厨が湧いてくるんだよな
数学に疎い連中だから話がつまらないし噛み合わない

569 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 21:28:53.61
>>566
圏が究極までに抽象化したのは射ではなく対象の方だという気がしないでもない

570 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 21:30:30.89
>>567
オブジェクトに言及したらどう区別つける?

571 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 21:49:04.21
>>570
オブジェクトに言及しちゃったら圏論のありがたみが消える
原理主義派ならオブジェクトに言及した時点で圏論ではないと言わなければならない

572 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 21:55:19.54
>>571
恒等射とオブジェクトはほとんど同じだろ

573 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 21:59:59.87
計算機とか直観主義論理とかの関係無い
いわゆる「数学的」な話がしたいなら圏論スレじゃなくて
ホモロジー代数スレとか立てた方が良いんじゃないの?

前回の数セミ二月号に載ってたような話がどうなるかは知らんけど

574 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 22:04:12.07
>>572
IDはあるオブジェクトと同一視できるけど、IDでそのオブジェクトの中身のどれがどれに対応してもいい

575 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 22:08:15.79
>>573
それは本末転等
基礎論とか計算機科学は圏論の応用分野の一部に過ぎない
例えば群論が量子力学とか化学に応用されるから群論スレでは
数学の話は抜きで行こうというようなもん

576 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 22:12:59.94
>>574
>IDでそのオブジェクトの中身のどれがどれに対応してもいい

オブジェクトの中身とは?

577 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 22:30:56.86
オブジェクトが中身を持つモノと考えることもオブジェクトに言及することになる
圏のオブジェクトには射の両端になることができるモノという以外の意味はない

578 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 22:40:39.65
>>577
オブジェクトに言及するとなんで圏論のありがたみが消える?

579 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 22:44:33.69
>>577
オブジェクトの中身を言い出したのはあんただろ
俺は恒等射とオブジェクトはほとんど同じと言っただけ
オブジェクトの中身なんて一言も言ってない

580 :579:2012/02/17(金) 22:46:44.19
>>574
でオブジェクトの中身ってどういう意味?


581 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 22:52:12.36
>>579
オブジェクトをIDと同一視して中身を無視すると「圏は公理だけだ」原理主義者になるけど

582 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 22:58:24.24
>>580
Setの場合はある集合のある要素

583 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 23:05:35.17
位相幾何だって応用の一つに過ぎないよ

要は圏論properだと相当無内容なんだよね
それこそ有向グラフスレ(みたいなものがあったとして)に毛が生えたみたいなもんで

だからこそ数学セミナーの最近の連載も、それぞれの分野の
専門知識ばかり難しくて圏論的には大して難しい子として無いみたいなことになる

584 :579:2012/02/17(金) 23:27:50.73
>>582
要するにオブジェクトの要素だろ。
そんなもん圏論では(ドキュン以外)普通考えない。
だからわざわざオブジェクトの中身に言及するなとか言う必要はない

585 :579:2012/02/17(金) 23:28:46.59
>>581
だからオブジェクトの中身ってどういう意味?



586 :579:2012/02/17(金) 23:31:14.50
>>583
>位相幾何だって応用の一つに過ぎないよ

位相幾何は数学プロパー
計算機科学とか数理論理学は違う

587 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 23:34:09.96
>>583
>要は圏論properだと相当無内容なんだよね

それはあんたが圏論の初歩しか知らないからだろ
せいぜい米田の補題とかその程度
それくらいなら圏論は無内容と思うのは無理ない

588 :132人目の素数さん:2012/02/17(金) 23:40:07.17
>>581
「圏は公理だけだ」ってどういう意味?
わかるように説明してくれ


589 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 00:15:58.97
>>583
>それこそ有向グラフスレ(みたいなものがあったとして)に毛が生えたみたいなもんで

上で書いたように有限有向グラフ(quiver)は無内容どころか非常に有用
quiverの表現論のおかげで有限次多元環の理論は飛躍的に進歩した。

590 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 00:28:50.86
参考文献お願い。

591 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 02:12:51.42
圏論

592 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 08:36:47.84
圏論を無内容と思うのは1、2、3しか知らない未開の土人が数論を無内容と思うようなもん。
それはあんたが無知蒙昧なだけで圏論の責任ではない。
何度も言うように圏論は抽象度が高い。
だから未開の土人同様にドキュンには理解不能。
分かりやすく言うと猫に小判、豚に真珠、馬の耳に念仏

593 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 09:15:37.44
>592
何度も言われてるようにあんた駆け出しの学生だろ

594 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 09:36:05.34
>>593
違う

595 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 10:18:50.01
Kummerさん=592 だったのか?
敬愛するKummerさんが...
信じられんがそうだったらスマン

596 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 10:43:04.56
>>595
勿論>>592は俺


597 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/18(土) 12:52:16.43
数学はそもそも初めから抽象的なもの。
1、2、3、...という自然数も非常に抽象的なもの。
リンゴが3個あるのも椅子が3脚あるのも同じ3と認識すること。
これはかなり抽象的な認識である。
これを具体的と思うのは慣れているからに過ぎない。
圏論も同じ。
慣れれば具体的に思えてくる。

598 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 13:13:17.36
>>597
> 1、2、3、...という自然数も非常に抽象的なもの。
> リンゴが3個あるのも椅子が3脚あるのも同じ3と認識すること。
> これはかなり抽象的な認識である。

同意

> これを具体的と思うのは慣れているからに過ぎない。

それは慣れじゃない。日本語の話者にとっては抽象的な数の認識は困難なんだよ。
少なくとも英語とかフランス語とかの話者と比べて。

日本人の大多数が抽象的な思考において欧米人に劣る原因は実は上のKummerさんの文章に答えがあるというのが俺の考え。
(Kummerさん自身は劣ってないと思っているけどね)

マトモな日本語では「リンゴが3ある」とか「椅子が3ある」とは絶対に言わない。
必ず数える対象のジャンルに応じて「個」とか「匹」とか「羽」とか「脚」とかを付ける。

つまり、マトモな日本語を常に使っている限り、椅子は3「脚」であって3「個」でも3「匹」でもないし、
3脚の椅子と3個のリンゴなんて足す事は不可能というか間違いなのだ。だって「脚」と「個」が違うからね。
3個のリンゴと合わせて勘定できるのは同じ「個」を使える例えばミカンとか品物とかに限定される。

つまりマトモな日本語を常に使用している事は即ち、抽象的な数という認識をしない訓練を常に行っているに等しい。
言葉を覚えて以来、ずっとそんな抽象的な認識をしない訓練を日本語を通してやっていたら
そりゃ本来の生物学的な意味での脳の潜在能力が日本人と欧米人で同じだったとしても、
成長を経て成人になるまでに最終的に作り上げられる神経細胞ネットワークで構成される大脳は
抽象的な思考を排除する、あるいはそこまで言わなくとも抽象的思考に耐えられないものになってしまって当然だ。

だから日本人は抽象的な思考が苦手だし、一般化や普遍的なルールを考え出してそれに従って行動するのも苦手なのだ。
常に個別具体な事柄に対応する形でしか行動できないという日本民族の根本的な欠陥の原因は、正にここにある。
「日本語を捨てますか?、世界で孤立して絶滅しますか?」、これが経済・資源・食糧などの相互依存を通して否応なく国際化が進み
世界の中での国家間や民族間の生存競争が激化する現代に於いて、日本人に突き付けられた究極の選択。

599 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 13:23:23.74
日本語捨てるっていうか、「椅子が3ある」って言うようにするだけでいいんじゃないのかそれ

600 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 13:54:30.19
>>598
>つまり、マトモな日本語を常に使っている限り、(中略)
>3脚の椅子と3個のリンゴなんて足す事は不可能というか間違いなのだ。
それがむしろ正しいのじゃないかい?日本語に3という概念があること自体で
すでに抽象的だし,3脚と3個を(ただちには)足さないというのは数学的にも
妥当だろ。
細かい点だったが、ことほどさように全体の論調がすこぶる短絡的なので
一言言った。

601 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 21:15:31.87
>>593
圏が具体的と思えるならまだ圏に慣れていない証拠
自然数が「番号付け可能なモノ」の抽象物なら、圏は「遷移以外を抽象化したモノ(具体性をとことん取り去ったモノ)」の抽象物だから

602 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 21:23:07.98
>>598
英語こそ piece of とか sheet of とか cup of とかうるさく文句言われるのだが
日本語ならたいてい「個」か「の」でOK

そもそもセム系言語は双数系とか複数形で数で単語そのものから変化させるのが普通
この理屈からいくと、日本は1,2,3を物の数として抽象化してるのに対して、セム系言語を使う欧米人は1と2と3以上の抽象化ができてないことになる

603 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 21:53:09.64
>>597が結論。
> リンゴが3個あるのも椅子が3脚あるのも同じ3と認識すること。
こうやって共通の要素を取り出すことを抽象って言う。
”抽象した要素の間の複数の規則を抽象すること”を繰り返して圏が得られる。

604 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 21:59:30.53
>>603
抽象バカ

605 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 03:35:43.54
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
     /   /:::::/           \
     /    /::::::/          | | |  |
     |   |:::::/ /     |  | | | |  |
      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
   |      /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ  ヽ、  |
  |      |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、  /:\__/‐、
  |      |/:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::O::| '、::| く::::::::::::: ̄|
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606 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/19(日) 08:27:21.19
>>601
>圏が具体的と思えるならまだ圏に慣れていない証拠

違う。
圏を手足のように日常の道具にしていれば具体的に思える。
というか抽象的とか具体的とかを意識しないようになる。
あんたがその境地に達していないだけ。

607 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 09:28:36.97
何回も言ってるがドキュンに圏論の有り難味を説いても無駄
ちょうど未開の原住民にファラデーの電磁気実験を説いても無駄なことと同様。
EilenbergとMac Laneが位相幾何におけるある問題を解く必要から圏論を考え出したときも同様。
何アホなことやってんだw
その実験および彼等の考えが後に世界を変え、やつら自身の世界も変えることになるとはやつらの想像を遥かに超える。
まさに猫に小判。

608 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 09:51:43.68
>>606
>圏を手足のように日常の道具にしていれば
たとえばどんなふうに使っているのか教えてください

609 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 10:11:53.66
>圏論って、数学の中でも特殊で、応用から離れた「純粋圏論」は大して中身がない。

そりゃあんたにとっては中身がないだろよw

>>607
>まさに猫に小判。

610 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 10:12:56.01
>>608
Galois記念スレ

611 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 10:23:25.27
>>503
>理論と応用は別
>これをまず理解しような
>応用がすぐ見つからないから理論は無意味というのはドキュン
>あわてる乞食は貰いが少ない
>ドキュンは目先の利益しか考えない
>だからいつまでたっても貧乏

ドキュンは応用を示さないとアイデアの価値を理解出来ない
未開の原住民はファラデーを理解しないし馬鹿にするがラジオやテレビには畏怖の念を抱く

612 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 10:24:28.94
いや、数学で抽象的な理論だけあって
具体例が無いというのは普通はダメだよ

613 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 10:31:46.27
>>612
普通の数学者にはそれが常識

>具体から一般へ
>これこそGaussの歩んだ道

しかし、常識に当てはまらない数学者もいる。
しかもとびきり偉大な数学者

614 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 10:34:07.15
Grothendieckにとっては抽象が先にある
応用は後からついてくる
彼の書いたものにはほとんど具体例が書かれていない

615 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 10:40:12.45
脇からすみません。教えて下さい。
随伴と双対とは似たものにみえるのですが、
教科書にはそれらしいことは書かれていません。
2つは全く別物でしょうか?
それともなにか関係があるのでしょうか?

616 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 10:57:43.77
>>615
双対関手は随伴関手の特殊なもの

圏 C と圏 D が双対関係にあるとは C が D の双対圏 D^o と圏同値であること。
つまり関手 f:C → D^o と関手 g:D^o → C があり
gf と C の恒等関手が自然同値であり、fg と D^o の恒等関手が自然同値であること。
f と g はそれぞれ双対関手と言う。
このとき (C, f, g, D^o) は随伴状況である。

617 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 11:04:21.36
>>616
ありがとうございます。
いまから熟読します。

618 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 11:42:47.32
いやGrothendieckやDieudonne自身は、
あくまで具体例を先にたくさん学んでいて、それを彼らが抽象化したんでしょ

619 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 11:52:43.79
>>618
Grothendieckは具体例に疎いよ
モジュラー形式とか具体例をゴリゴリ計算するような分野には疎い

620 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 13:03:54.81
>>619
抽象化するのに、具体例を特別詳しく知っている必要はない。
しかし、具体例の知り方が余人と違う

621 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 13:46:11.44
彼は具体例にはほとんど興味ないと思われる。
彼の得意なことは先人の業績を圏論的に非常に一般化して先人の思いもよらない新たな発見をすること。
先人の業績を利用するという点で間接的に具体例からの寄与を受けていると言えば言えるが。

622 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 17:12:19.87
しかしこのスレはバカばっかりのようだな。
具体例は不要とか言ってる連中は、他人の理論を追っかけるしか能のない奴ら。
自分で理論を組み立てる能力がない連中。
その能力があれば、具体例のない無意味な理論など無数に構築できることくらい分かるからな。

623 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 17:27:13.63
>>622
>具体例は不要とか言ってる連中は、他人の理論を追っかけるしか能のない奴ら。
それはそのとおり

624 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 17:56:11.03
>>622
>具体例は不要とか言ってる連中は

その連中のレス番号は?

625 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 19:45:46.27
なんにもやってないのに、どさくさにまぎれて勝手に焚きつけるなよ。

626 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 20:28:42.28
>>614
数値計算が苦手な数学者は多いよ。
そういうのの、レベルが高いバージョンじゃないの。

627 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 20:29:27.80
ヒルベルトの時代くらいまでは
計算が苦手な数学者と言うのはあり得なかったんだけどね

628 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 21:07:42.58
Grothendieckは圏論的な一般論、しかも大して難しくない、むしろtrivialに近い議論を
延々と徹底的にやる。
すると最後に非常にnon-trivialな結果が得られる(Deligne談)。
Grothendieckはこのやり方を満ち潮に喩えている。
静かな海が満ちてきて固い殻に覆われた問題を自然に解いてしまうというようなイメージ

629 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 22:02:44.94
計算は苦手

630 :猫『も』詭弁 ◆MuKUnGPXAY :2012/02/19(日) 22:10:05.75
きちんとした枠組みを提示なり構築しさえすれば、当初の問題はソコで
は当たり前になってしまうという状況が(自然に)生じた場合、その構
築された枠組みにこそ素晴らしい価値があるというのは数学の進歩の過
程として非常に美しいと私は思いますね。だから最初の問題が解かれる
事よりも、その問題の正しい定式化がなされる事の方が数学の進歩に取
っては重大な意味を持つと私は考えています。




631 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 22:17:38.51
なんかいきなりしおらしくなって気持ち悪い。

632 :132人目の素数さん:2012/02/20(月) 20:15:24.29
>>630
ここの文章全体が(628も念頭におきながら読んで)、いまの私にとってとても美しく
感動的でした。ありがとう。もし続きがあるならつまらなくてもよいので読ませてほしい。

633 :132人目の素数さん:2012/02/21(火) 22:10:39.85
文章がキモイ

634 :132人目の素数さん:2012/02/22(水) 18:32:50.03
>>616
たしかに随伴ってわかりにくい。
双対と随伴の関係って、同型と準同型の関係と似てる?

635 :猫は馬鹿が憎い ◆MuKUnGPXAY :2012/02/22(水) 19:25:14.90
>>632
この話に関しては、何時ぞや佐藤先生も似た様なお話をなさってたとい
う記憶です。

まあ極論なのかも知れませんが、例えばFLTの役割は「その問題自身が解
かれる事」ではなくて:
★★★『ソコを通して、或いはきっかけとして数学そのものが豊かになった事』★★★
という理解をするのが妥当だと思いますね。人類が350年も掛けてや
って来た事は「その特定の問題を解く事」ではなくて、でも:
★★★『そういう問題群がごく自然に見える様な理論的枠組みを整備した。』★★★
という事だと私は理解しています。この問題に関係して代数のみならず、
幾何も解析も、数学のかなりの部分が有意義な刺激を受けて来た歴史と
いう事なんじゃないでしょうか。

だから「問題が解かれたという事実そのもの」よりも:
★★★『その問題がどういうルートを辿ってどういう決着の仕方をしたのか』★★★
という事の方が、その後の数学の発展の歴史には決定的な要素となる場
合が多いと私は思いますね。そのFLTの場合であっても、勿論決着した
Wilesは偉大ですが、でも:
★★★『その問題の決着に最終的に繋がる命題をきちんと定式化した3名』★★★
の貢献は数学の歴史の中では決定的だと私は考えています。

あのWeil先生のお言葉にも『良い問題は数学を正しい方向へと導く』と
いうお話がありましたね。先生はフェルマーとリーマン予想からご自分
の数学をお始めになられたそうです。流石は超一級の数学者という事な
んでしょうけど。どうやら師であるHadamardのアドバイスだそうですが。




636 :132人目の素数さん:2012/02/23(木) 00:24:41.44
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      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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637 :132人目の素数さん:2012/02/24(金) 19:02:49.52
教えてください。
「余代数とは等式系のことである」という説明を見たのですが、
代数もまた等式系のことだと思うので(ここが間違っているのでしょうが)、
代数と余代数の関係(双対性)が分からなくなりました。
最小不動点で意味が定まるか、最大不動点で意味が定まるかの違いだという
ことならなんとか分かるのですが、ここはどう理解すればよいのでしょうか?

638 :132人目の素数さん:2012/02/24(金) 19:23:44.26
>>637
見たとこで訊けよ

639 :132人目の素数さん:2012/02/24(金) 20:15:04.80
>>635
FLTが自然に見える様な枠組みなんかまだ出来てないだろ。
永久にできないかもしれない。
とにかく現時点では充分技巧的でトリッキーだろ

640 :132人目の素数さん:2012/02/24(金) 23:34:39.22
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641 :132人目の素数さん:2012/02/25(土) 04:39:33.99
>>628
ACのCMにある、実物大の鯨を一心不乱に描く少年みたいだな。
傍から見ると画用紙を黒く塗り潰し続けているようにしか見えない。

642 :132人目の素数さん:2012/02/27(月) 23:32:14.32
なんつーか圏論はリーチする層が微妙に間違っている。
ツールとして使った結果に対してツールとして有効活用した、というのなら納得だが、
全く検討もつかない摩訶不思議にとられるということは、現時点ではツールとして
使われる見込みの薄い証左じゃん。

643 :132人目の素数さん:2012/02/27(月) 23:54:23.63
>>642
論文を書くときのツールとして重宝してます

644 :132人目の素数さん:2012/02/28(火) 00:01:27.02
よかったね。

ってそんな詰め碁はいいんだけど、そんな何回も同じ手をやってると
詰め碁に見えていない人にも詰め碁に見えてくるよ。

645 :132人目の素数さん:2012/02/28(火) 07:52:52.29
日本に圏論の専門家っていますか?

646 :ご冗談でしょう?名無しさん:2012/02/28(火) 18:52:07.97
>>645
いますよ。

647 :132人目の素数さん:2012/02/28(火) 22:03:18.04
圏論がどうたらこうたらなんて所詮体裁の良い口実だよ。
別に推進していくのは圏論じゃなくてもいいんだから。

648 :132人目の素数さん:2012/02/28(火) 22:25:35.14
数学者は変わりものであるとか誰が言い出したんだろうね。
人間なんだから感じることは同じなのに。

649 :132人目の素数さん:2012/02/28(火) 23:16:45.11
加藤和也さんを見たらそんなことは言えないと思う。

650 :132人目の素数さん:2012/02/29(水) 09:52:06.51
>>647
何を言ってるかわからん。
すまんが補足キボン

651 :132人目の素数さん:2012/02/29(水) 16:23:30.35
>>646
具体的な名前を

652 :132人目の素数さん:2012/02/29(水) 20:43:07.43
>>650
これからのキャリアをずっと痩せ我慢して過ごすのはゾッとするので、
うまい感じに痩せ我慢するのを止めたい。

653 :132人目の素数さん:2012/03/02(金) 03:30:25.82
圏論を道具としているんではなく、圏論を専門に研究しているだと?

654 :132人目の素数さん:2012/03/02(金) 22:19:27.15
別にあんたら圏論好きでも何でもないわ。

655 :132人目の素数さん:2012/03/04(日) 18:04:45.26
>>634
随伴=半逆。

656 :132人目の素数さん:2012/03/20(火) 23:35:44.83
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657 :132人目の素数さん:2012/03/22(木) 06:06:46.76
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658 :132人目の素数さん:2012/03/23(金) 02:10:57.12
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    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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660 :132人目の素数さん:2012/03/23(金) 07:22:04.97
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661 :132人目の素数さん:2012/03/23(金) 19:53:55.27
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662 :132人目の素数さん:2012/03/24(土) 22:13:17.54
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663 :132人目の素数さん:2012/03/25(日) 23:03:19.21
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664 :132人目の素数さん:2012/03/25(日) 23:37:48.86
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665 :132人目の素数さん:2012/03/31(土) 10:01:13.04
いくら何でもなんにもしなさすぎ。よく知らないが、この業界おかしすぎ。
調整能力、実行能力共に全くないし。一体なにやってんの?

666 :132人目の素数さん:2012/04/01(日) 21:11:41.63
信じる信じないは個人の勝手、というか、一般論として他人に設定された二者択一に
そのまんま嵌るのはダメだよ。

667 :132人目の素数さん:2012/04/01(日) 22:06:12.59
>>665
何と戦ってるの?

668 :132人目の素数さん:2012/04/01(日) 23:40:26.11
セレモニー的なものは必然的であるということが認知されていないことと戦っている
一般的に有用だと思われる行為は業界内で出来る限り儀礼化させていきたいのだ。
なぜそんなことを目指すのかというと、人間概ねそういう方向性を目指すものだと思っているから。

669 :132人目の素数さん:2012/04/01(日) 23:46:03.94
あとはなんか隙だらけだから。
冬、外に半袖で出ようとしたら危ない旨言ってあげるべきだろ。

670 :132人目の素数さん:2012/04/04(水) 22:34:41.89
ホント対処能力ないね。何に当たる行為なのかわかる人に確信を与えるぞ。

671 :132人目の素数さん:2012/04/06(金) 23:16:45.26
俺は別にいじめているわけではないし、手持ちのカードをみて冷静になれ。

672 :132人目の素数さん:2012/04/11(水) 11:36:27.32
自然変換が分らん。
定義からは、どんな変換も自然であると読めてしまう。
だれか自然でない変換の例を教えて下さらんか?

673 :132人目の素数さん:2012/04/11(水) 11:46:07.49
なかなか良くできたルアーだ

674 :132人目の素数さん:2012/04/11(水) 12:15:41.02
>>672
もともと集合を使ったお遊びなんだから力を抜いて遊べばよい

675 :132人目の素数さん:2012/04/11(水) 12:55:02.08
圏自体の話が無いな。

676 :132人目の素数さん:2012/04/11(水) 18:03:56.93
>>674
うん遊んでいるのだが、うまく遊べないのです。

つまり,通常、自然変換は以下のように定義される。
F,G:関手(圏C->圏D)とする。
FからGへの自然変換とは、
(1) {射t(x):Fx->Gx | x∈obj(C)} であって、
(2) 可換図式(省略)を満たすもの

ここで,F,Gが関手であることと(1)とから、(2)は導出されるのではないか、
と思うんだが、どこで間違っているのか分らんのです〜〜〜

677 :132人目の素数さん:2012/04/11(水) 18:53:36.91

人生マンコが必要だ
くじけりゃマラがが先に行く
あとから来たのにぬかされ
包茎がいやならさあ剥け


678 :132人目の素数さん:2012/04/11(水) 20:48:39.13
図式、図式言うの離れろ。全部文章に落とし込め。

679 :132人目の素数さん:2012/04/12(木) 02:55:49.17
>>672
ワーキングマセマティシャンに反例載ってるじゃん

680 :132人目の素数さん:2012/04/12(木) 08:54:27.94
反例じゃなくて例というべきだなスマン

681 :132人目の素数さん:2012/04/12(木) 10:21:14.21
>>679
ありがとう。
ワーキングマセマティシャンは押入れのずっと奥なので、
いまWikiで見ると、以下のような記述があった。

F, G が圏 C と D の間の(共変)関手であるとき、 F から G への
自然変換は、C に含まれる全ての対象 x に対し D の射
ηx: F(x) → G(x) を与える。
このとき、 C の任意の射 f: x → y に対し、
ηy ○ F(f) = G(f) ○ ηxが成り立つ。

ということは、>>676に書いた自然変換の定義は、
(1) such that (2)、ということではなく、
(1) したがって (2)、という意味だったのかな?
しかし、wiki以外は、やはり、(1) such that (2) と読めるがなあ

682 :132人目の素数さん:2012/04/12(木) 13:21:15.64
アーベル群の圏でn倍するというのは自分自身への関手になる。
3倍関手と5倍関手との間には自然変換は存在しない。



これでいいのかな?

683 :132人目の素数さん:2012/04/12(木) 16:49:38.15
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684 :132人目の素数さん:2012/04/12(木) 18:41:26.95
アフォリズム

685 :132人目の素数さん:2012/04/12(木) 22:29:25.16
圏Cの任意の射について自然性が成り立つのではなくて、
圏Cの任意の対象xについて、自然変換のコンポーネントηxは圏Cの任意の射f:x->y
について、自然性G(f)・ηx = ηy・F(f)が成り立つ、だ。

686 :132人目の素数さん:2012/04/12(木) 22:31:14.45
圏Cの任意の対象xに対して割り当てられる自然変換のコンポーネントηx・・・
だった。

687 :132人目の素数さん:2012/04/12(木) 22:50:30.01
起点抜きの圏Cの任意の射なんて扱えないはずだ。

688 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 00:23:39.40
>>685
ということは、
(1) 自然変換とは、{ 射ηx: Fx->Gx | x∈obj(C) } のことである。
この(1)から、
(2) 圏Cの任意の射f:x->yについて、G(f)・ηx = ηy・F(f)
は導出されるのであって,自然変換の定義は、(1)かつ(2)なのではない、
という理解でいい?

689 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 00:30:17.23
導出されない

690 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 06:39:02.44
>>688
導出されん。導出云々は単に最初から自然変換とわかっているものを適用したら
各対象において自然になるのは当たり前なので、導出できると思っているんじゃないか。
定義なんだから、自然変換とは〜である、という形式でsuch that以下は割り当てられる射の条件だ。

691 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 08:48:46.26
>>682
違うな。ゼロ倍射を使えば自然変換になる。

692 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 10:37:18.49
>>688
F,Gが関手であるということは,
(1) ∀f,x,y [ f: x->y ならば { Ff: Fx->Fy かつ Gf: Gx->Gy } ] 。
ηがFからGへの変換であるということは
(2) ∀x [ ηx: Fx->Gx ] 。
ηがFからGへの自然変換であるということは
(2) かつ (3) ∀f,x,y [ Gf*ηx = ηy*Ff ]。
こう定式化すれば、
(1)と(2)から出るのは
(4) Gf*ηx: Fx->Gy かつ
ηy*Ff: Fx->Gy
までであって、(3)は出てこないというのはわかるね。

693 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 16:08:59.81
>>682 >>691
倍関手間には典型的な自然変換があると思っていたのだが。

694 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 20:19:55.93
今月号はおもしろかったが、双対性の定義がなかった。
すべての射の合成を入れ替えるというのが双対の定義だったと思うが、
反変函手の圏同値が成り立つ圏同士を双対関係としてんの?

695 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 22:13:18.51
おれには今月号は超むずかった。文学入ってた?
双対の定義は射の向きを反転させるんだよね。だから合成も入れ替わるが。
ストーン双対性を論理式とモデルの増減関係みたいに説明している所はなんだかな?

696 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 22:28:09.10
図式で云々かんぬんというのは離れるべき。
ていうか、そもそもストーン双対性って何のこと指してんの?

697 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 22:46:48.76
>>696
>図式で云々かんぬんというのは離れるべき
これは何を言ってるの?

698 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:04:47.35
図を出すとわかったような感じがするけど、そういう雰囲気がするだけで、
わかったわけではないことが多々あった。なので、図式に由来した(図式の操作を
根拠としたような)説明はあてにしないほうがいいということを言ってる。

699 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:22:29.49
それはそのとおりだね。

700 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:31:27.85
ウケが良かったもんで多用している間によくわからなくなった、とみてる。

701 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:33:17.97
reverseやtwistが自然変換の典型例みたいに言われるけど、それと自然変換の
定義が結びつけへんのや。

702 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:34:54.98
>>700
図式が?

703 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:40:14.04
圏論から図式を除いても残るものはある?

704 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:41:19.61
図だけ出して説明になっているのか、なっていないのかどうかというところが。

理解するにあたって必要な情報を与えていないのに、与えている気になっていたら
どうやっても理解できないか、あさっての方向に誤解するだろ。

705 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:45:28.79
>>703
図式は補助だって。

706 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:48:27.45
>>704
だが通常は、図式は参考図として使われていて、本文は1次元のテキストで
きちんとかかれているだろ?

707 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:49:56.01
一般論として、絵画展にいって数学チックな絵みるだけで何か数学的なことが理解できるか?

708 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:51:12.92
>>704
そうそう。でもメインが図式にあると思い込んでいたらその大事な部分は読まない。

709 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:53:25.28
具体例あげて論じてくれよ。

710 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:53:30.01
圏論の図式は、図式としてはむしろ中途半端でセンスがない。

711 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:56:52.46
例えば、積の図式って何言いたいのか未だにわからん。あれは一体なにを説明してんの?

712 :132人目の素数さん:2012/04/13(金) 23:58:32.20
>>711
ははは。そうだよな。

713 :132人目の素数さん:2012/04/14(土) 00:06:01.54
図式だけ出されても意味分かんないっしょ。積図式はせいぜい普遍的性質の
説明にあたっての例としてつかえるぐらい?

714 :132人目の素数さん:2012/04/14(土) 00:14:34.79
そういうわけのわからないことをわかって説明をした気になっていれば、無意味だと揶揄されて当然。
ちゃんと内容があって一般にわかりうることを説明するべき。

715 :132人目の素数さん:2012/04/14(土) 00:20:36.81
圏論は原数学のつもりらしいから、案外あの図式が本質なのかもな。

716 :132人目の素数さん:2012/04/14(土) 00:25:21.93
折角∀∃と∃∀の区別にまで行き着いたのに、あんな図式に逆戻りで台無しだ。

717 :132人目の素数さん:2012/04/15(日) 16:29:06.31
圏の本質は射の結合演算だけで、obj は恒等射で間に合うと思うんだが。

718 :132人目の素数さん:2012/04/15(日) 20:24:19.53
知る限りそのとおりだ。
http://killingbuddha.altervista.org/FILOSOFIA/GToNe.pdf
のp.238
その立場をとると、埋込函手の定義でたまに出てくる
対象に対して単射的という条件が要らなくなる。

719 :132人目の素数さん:2012/04/15(日) 20:25:45.78
>>717
本質というのがどういう意味かわからんが、まあそう言いたければ、前段は
自明だし、後段は教科書の冒頭に出てくる常識だ。

720 :132人目の素数さん:2012/04/15(日) 20:31:58.29
冒頭に出てこなかったし、示唆はされていたものの確か書かかれてなかったぞ。


721 :132人目の素数さん:2012/04/15(日) 20:52:11.25
しかしながら、書かれていないことを理解していたのは素晴らしいな。

722 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 00:28:04.11
図式は圏論の本質なのだ。単なる参考図じゃない。ここを飲み込めば圏論が分かる。
定理の証明はテキストでやるが、証明の見通しや定理の発見は図式でやるんだ。
テキストでは追いにくい証明が図式では自明という経験をしてきただろう。あれだ。

723 :132人目の素数さん:2012/04/20(金) 01:17:05.33
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724 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 18:56:34.80
米田の補題って何がうれしいの?

725 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 19:41:41.54
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726 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 21:11:08.44
自然変換って額面通り取ると対象の多い圏だと定義不可能。各対象毎に
自然性を満たすように定めないといけない。
けれども、米田の補題を使うと、普遍要素を定めりゃ考えている対象について
全部一気に決まる。

727 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 21:30:45.42
常に使えるわけではないので、
米田の補題を使うと、じゃなくて
米田の補題が使えるケースであれば、で。


728 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 21:58:15.14
結局、図式は説明になっとらん。

729 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 22:19:43.90
米田の補題って、どんな圏も集合圏に翻訳できる、ということではないんですか?


730 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 22:24:19.71
それはhom関手の解釈じゃね?
普遍要素から自然変換が完全に定まるというのが米田の補題。

731 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 22:41:29.13
そもそもhom関手わかる?

732 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 22:58:26.53
馬鹿にしてるわけじゃないよ。リサーチ目的。

733 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 07:36:44.29
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734 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 21:08:25.19
米田の補題の内容は、
1)どんな圏も集合圏に翻訳できる(この翻訳がhom関手)
2)それら翻訳の間には、自然な変換が唯一構成できる
と要約してよいでしょうか?

735 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 21:39:54.20
自信が持てない内は要約しない方がいい。

736 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 22:02:54.31
>>735
ということは、間違っていますか?
でも、要所でこの種の要約が付いていると理解の助けになるのですが、
ふつう徹頭徹尾数式の羅列なので...

737 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 22:11:50.72
自分で判断できないほど理解できてないんじゃねぇか。
それは完全にダメ。要約するってことは論点を判断するってことだぞ。

738 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 22:21:48.01
これにおもいっきり書いてあるからこれを読め
http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183526392

739 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 22:37:57.22
ていうか、726-727,730に要約書いたじゃん。

740 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 22:38:33.90
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741 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 08:03:43.11
>>726
>自然変換って額面通り取ると対象の多い圏だと定義不可能。
不可能➝困難?
>普遍要素を定めりゃ
これは集合圏であることから直ちに派生することなのでは?
>>737
>要約するってことは論点を判断するってことだぞ。
要約は、広い文脈の中での位置づけも分かるものでないといけない。
hom関手どうのこうのという表現では内輪でしかわからない。

742 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 08:25:22.10
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743 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 08:26:45.21
だから、自分なりの要約はある程度分かってからやればよい。
論理や数式を丁寧にフォローすることを億劫がってはいけない。

744 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 21:47:12.36
>>741
内輪野郎とはひどい侮辱だな。意味がわからない可能性があったから、
途中でhom関手わかるか聞いたんじゃねぇか。結局そこからわからんのだからわからんの。

1自然変換について
100個対象あったら自然変換のコンポーネントを100個定めないといといけない。
そんなの実質不可能だろという意図なので困難で妥当。
2普遍要素について
集合圏から直ちに派生するという意味がわからない。詳細を述べなくては意味不明。
というか、明らかに普遍要素の定義を知らないと思うので調べるべき。
3要約云々
補題の要約であれば、普遍要素から自然変換が完全に定まる。
広い文脈での位置づけについては、根拠文書込みでぜひ教えて欲しいもんだ。
4hom関手について
圏Cの射でドメインがA、余ドメインがBの射の集まりをhom(A,B)と書く。
任意のA,Bに対して、hom(A,B)が集合になる場合、対象Xを固定して、
Cの各対象をとる関数hom(X,-)は圏Cから圏Setsへの関手の対象関数とみなせる。
射については、f:A → Bとするとき、hom(X,f) : hom(X,A) → hom(X,B)と定めることにして、
そのような関手を共変hom関手、hom(-,X)だったら反変hom関手というが、それことを言っとる。

745 :132人目の素数さん:2012/04/25(水) 21:48:24.11
改行入れ忘れて読みにくいな。

746 :ご冗談でしょう?名無しさん:2012/04/25(水) 22:22:59.70
>>745
理解してない奴よりはよか

747 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 13:31:51.40
先輩(先生?)方コメントありがとうございます。
>>744
>普遍要素
F: C → Sets、F(A):Cの対象 A に対応するSets内の対象つまり集合、
としたときの、F(A)の要素という理解です。
普遍要素から自然変換が完全に定まるというのは、説明すれば中学生でも
すぐに分ることにみえるので、それがなになの?と尾もてしまのです.
>hom関手について
ここに書かれているのはどの教科書にもある説明なのでそれ自体は読めるのですが、
hom関手って何?と要約しないと、分ったことにならないのではないでしょうか?
>>743
>論理や数式を丁寧にフォローすることを億劫がってはいけない。
これはよく言われることで一見正論に聞こえますが、フォローするだけなら
むつかしいことではないし、つまらないと思います。
どこかに書いてある数式の羅列をそのまま読んでもらってもやっぱりつまらない
んですよね。

748 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 14:06:08.09
>>747
ほんとの有り難みはいろいろな応用例を知らないと
分からない。今の段階で無理して有り難みを知る必要はない。



749 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 14:07:59.50
補足。
普遍要素って分ってんのか、hom関手って分ってんのか、という指摘ですが、
普遍要素もhom関手も説明過程で現れる作業上の単なる用語であって、
それを理解しているかどうかにこだわるほどの大きな概念じゃないと思ってます。

750 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 14:14:30.14
>>749
大きな概念というより非常に重要な概念。
そう思わないのは圏論をよく知らないから。

751 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 14:48:14.52
>>747

>>743
>論理や数式を丁寧にフォローすることを億劫がってはいけない。
これはよく言われることで一見正論に聞こえますが、フォローするだけなら
むつかしいことではないし、つまらないと思います。
どこかに書いてある数式の羅列をそのまま読んでもらってもやっぱりつまらない
んですよね。」

『まずは』丁寧にフォローする、ということ。
つまらないとか面白いとかのレベルじゃなくて、それをしないと始まらない。

むつかしいことではないならやればいい。

752 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 15:55:30.41
真剣なご忠告だとは思うのですが、単なる常套句に聞こえます(すみません)
>それをしないと始まらない
??いちいち教わらなくても自分で分かる(再発見する)ということも多いでしょう?
>むつかしいことではないならやればいい。
??なんか精神論的な学問観に聞こえます。

ご自分の言葉で(MacLane等に頼むのではなく)例えば「米田の補題とは!」
というのを開陳していただけるとうれしいのですが。

753 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 16:06:06.92
>>752
生意気言うな

754 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 18:39:33.10
>>752
あなたに真面目に答えようとした私が悪かった。

死ね、愚か者。

755 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 21:02:07.63
>>747
ふんふん。ちゃんとわかって言ってた(?)のな。

1普遍要素から自然変換が完全に定まるというのがしょぼいことについて
だから補題扱いなんじゃない?
あと、普遍要素の理解は正しいので大丈夫だと思うが、普遍要素<A,u>が与えられたとき、
自然変換 θ:hom(A,-) -> F
の各対象Bにおけるコンポーネント θB の具体的表示はどのように書ける?
圏Cはlocally smallとする。

2hom関手がよくわからんということについて
A -> A型の射が1A, a, bとあったら{1A,a,b}=hom(A,A)という集合は、
Setsの対象hom(A,A)はAそのものではないものの射を列挙していることでAを表している。
んで、わからんのはなんで表していることになるのか、というところか?

3個別のしょうもない用語なんかどうでもいいから補題の要約を教えろの件について
例えば、琴線を触れさせるためだけのインチキ用語として”ガロアン複雑なんとか対象”という
用語を導入することにして、これは大した概念ではないので説明するまでもないことにする。
んで、俺マックレーンを凌駕したということで、
米田の補題は「自然変換の具体的構成が与えられる機構の背景にガロアン複雑なんとか対象が
本質的な役割を演じていることを暗示している」と主張しようもんなら、
傍から見たら単なるイタイ人じゃん。

756 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 21:12:30.71
数式のフォローが億劫というのはそのとおりだ。
なぜなのか、ということを考えたことがあるけど、論文や本に書くにあたって
突っ込まれやすい肝心なアイディアを抜いて意味不明になっているからだと思う。
ただ、わかっていて抜いているのはまだマシ。

757 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 21:15:59.52
アイディアを抜いて意味不明に、じゃなくて
アイディアを抜いてしまっているので本を読むだけでは意味不明に、で。

758 :あのコウチャンは恥垢体だった。:2012/04/26(木) 21:44:32.92
アレを抜いて意味不明に、じゃなくて
アレを抜いてしまっているので好色本を読むだけでは意味不明に、で。


759 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 21:53:31.78
>>747
数学者でも考え違いしてるやつが多いが
命題の価値は証明の難しさに比例するわけではない。


760 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 22:26:48.21
米田の埋め込み定理により圏を集合圏に値をとる関手のなす圏に埋め込める。
この圏は集合という具体的な対象を扱っているので
もとの圏より扱いやすい場合が多い。
これは群の表現論が群論で重要なのと似ている。


761 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 22:32:49.13
関手圏の対象は集合じゃなくて集合値関手だよ。
あと、理解してないから説明できないんだが、たしか米田埋込が便利なのは
完備じゃない圏を完備な圏に埋め込めるというのが便利だったはず。

762 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 22:36:50.91
>>761
関手圏の対象が集合なんてアホなことを誰が言ってる?

763 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 22:42:50.53
ああ、そう読めたんで。ごめん。

764 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 23:09:22.71
あと随伴関手が重要だからっていう理由もある。
この概念は米田の補題に依存してる。
とにかく圏論の基礎的な概念はほとんど
全て米田の補題と密接に関係してる。
米田の補題というより表現可能関手という
概念が本質的。この二つはほとんど同じものだが。

765 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 23:11:43.53
>>761のレスが
うんこちんこまんこ
と俺には読めたんで

766 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 23:15:56.03
表現可能関手が重要ってこと。
これでプルバックにせよ極限にせよ
随伴関数にせよ全部説明つく。

767 :132人目の素数さん:2012/04/26(木) 23:18:35.77
随伴関数じゃなく随伴関手


768 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 01:14:29.03
米田の埋め込みって要するに
圏の表現を意味してるのかな?

769 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 01:31:12.83
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.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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770 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 13:24:57.66
比べるのは意味ないと言われそうだが、
米田の補題と不完全性定理は、学習難度はどちらが高いだろうか

771 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 14:40:16.68
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772 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 22:45:36.03
平均的学生にとっては、証明の理解は不完全性の方が難/定理の意味の理解は米田の方が難、
というところだろう。常識的な答えでスマンが。
ところで、このスレでの米田の補題の証明の説明は、用語をはじめとして、
皆さん一寸難しく言い過ぎじゃないかな。黒板が使えれば、簡単な図と説明で
容易に分かる程度のことだ。
ただ、補題の意義の納得には、だれか言ったように少し時間が必要だろうね。

773 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 22:51:12.25
無駄に難しい用語と言ったのは、普遍要素とかhom関手とかのこと。
数学では、本当に分かる奴は、こんな言葉は知らなくても分かる。

774 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 23:02:46.09
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775 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 23:15:06.89
>>737
数学用語自体に難しいも簡単もない。
その用語の意味を理解するのに難易の差があるだけ。
用語は意思疎通に必要だから使うなとか言うほうがおかしい。

776 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 23:18:11.99
>>775
>>737じゃなく>>773向け

777 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 08:02:09.17
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778 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 09:46:52.54
>>775
もちろん用語を使うなと言っているのではない。
しかし、数学においては、あの記述感覚や操作感覚が数学の実体であって、
用語は単に伝達の便のための指示代名詞に過ぎない、という意味だった。
こういう意識をもっておくことは、特に初学者を指導するときに大事だという
のがオレの経験知。

779 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 10:32:48.63
>>772
米田の補題の証明が難しいという学生はそもそも数学に向いてない。
または数学の証明というものに慣れてないか。
論理的な考えに慣れてないか。
とにかく圏論やるのは10年早い。

780 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 11:18:05.30
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781 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 11:21:35.32
米田の補題がなぜ有難いかを理解することは
圏論の基礎を理解することとほぼ同じ。

782 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 11:30:56.43
>>779
ちょっと厳し過ぎないか?数学科離れが進むのも分かる。
もうちょっと、ふつうの人に近寄ったほうがいい、と思うが。

783 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 11:39:26.85
>>782
米田の補題の証明はトリビアルの範疇。
本に書いてある証明を追わずに簡単に自力で
出来る。なんの知的努力もいらない。
いわゆるルーチン。


784 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 11:46:18.17
>>782
じゅあ聞くけど、普通の学生にとって米田の補題の証明のどこが難しい?

785 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 11:54:46.26
図式で証明になっていると主張されているけれども図をみても
どういう証明になってちるのかよくわからないところ。

786 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:01:10.43
>>785
自分で証明しようとしないから分からなく。
他人の証明は他人の考えだから本来分かりにくい。



787 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:04:16.19
自分で証明もなにも、そもそもなにいってんだかわかんないんだって。

788 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:05:41.23
文献によっては、とっかかりすら不明な場合がすごいある。主張が不明な場合とか。
埋め込みとごっちゃになってる場合とか。そんなんわかるわけないじゃん。

789 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:10:05.32
>>785
可換図式は分かりやすくするために書いてある。
それが嫌だったら無くてもいい。
要するに2種類の射の合成が一致することを証明するだけなんだから。
小学校の算数と同じレベル。

790 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:15:54.18
>>787
それは用語の定義が分かってないから。
関手とか自然変換の定義分かってる?

791 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:15:54.61
そう、無くて良い。

792 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:26:22.64
関手は、圏の各対象を異なる圏の対象に割り当てる対象関数と
圏の射を異なる圏の射に割り当てる射関数の組みのこと
自然変換は、関手をF、G:C → D とすると、
Cの各対象に対してDの射を割り当てる対応θのことで、
各射f:A->Bに対して自然性条件 θB・F(f) = G(f)・θAをみたすもの

793 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:30:14.55
ただ、言いたいことは図式だけみても意味わからんということだ。

794 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:42:41.61
あ、違った。言明自体が意味不明なものがあるということも言ってたんだった。

795 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:43:47.32
>>792
それだけ分かっていて米田の補題が何言ってるか分からないのは何故?

796 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:44:50.89
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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797 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:45:05.91
?よく読み直せよ。俺が米田の補題わからないという話ではなかったろ。

798 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:47:20.72
米田の補題の証明を難しいと思ってるやつは多いのか?
もし本当なら意外だな。
こいつは面白い。

799 :795:2012/04/29(日) 12:51:44.07
>>797
あんた誰だよ。
名無しだから分からねえよ。
俺は>>787に言ってる。


800 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 12:51:52.83
あんなグダグダな説明と説明していないせいで意味不明な図式だけで
証明でーす、ってやられりゃ難しく感じる。

801 :795:2012/04/29(日) 12:56:09.96
>>800
誰の本を読んでるか知らないが米田の補題の証明は
誇張も何もなくトリビアル。
普通の学生が自力で簡単に証明出来る。

802 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 13:00:19.80
787は俺だぞ。
確かに自然変換ちゃんとわかってれば簡単。
変な本だとやたら難しく意味不明な図で解説されるのが我慢ならん。

803 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 13:01:28.76
>>792
>Cの各対象に対してDの射を割り当てる対応θのことで、
ここ間違ってない?

804 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 13:03:55.58
自然変換はC各対象に対してDの射(自然変換のコンポーネント)を割り当てるだろ。

805 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 13:04:45.33
何処らへん間違い?

806 :795:2012/04/29(日) 13:05:48.47
>>802
その変な本って著者名と題名は?

807 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 13:09:30.83
いや、何処らへん間違いよ。

808 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 13:13:41.54
絡んでるわけじゃないよ。リサーチ目的。

809 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 13:29:23.75
前も出したが、米田の補題からNat(hom(A,-),F)とF(A)の間に一対一対応が存在することが言える。
つまり、u ∈ F(A)とすれば、自然変換 θ ∈ Nat(hom(A,-),F) はuから完全に決まる。
このとき、各対象Bにおける自然変換θのコンポーネントθBの具体的表示はどのように書ける?
ただし、あたってもなにもあげない。

810 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 13:37:35.10
>>804
変換θとは、θ={θ(A)|A ∈|C|}なる集合(類)であり、
θ(A)は、θ(A):F(A)->G(A) なる射だ。
対応という言葉を使うなら、変換θはあくまで、関手から関手への対応であり、
変換のコンポネントθ(A)は、対象F(A)から対象G(A)への対応だ。

811 :795:2012/04/29(日) 13:40:56.69
自然変換の具体例を出来るだけ多く挙げてみろ。
そうすれば自然変換のイメージが掴める。

812 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 13:50:39.73
>>810
一瞬まずったかと思ったけど違うよ。対応という言葉が悪ければ、関数でいいよ。
θ={θ(A)|A ∈|C|}
これだと任意の対象に対してコンポーネントが割り当てられることになる。
小さな圏ならともかく大きな圏では定義としておかしい。

813 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 13:51:35.71
>>811
横からおじゃまします。ふつうの学生です。
自然変換の具体例を出来るだけ多く教えてください。

814 :795:2012/04/29(日) 13:56:40.46
>>813
俺は問題出題者だよ。
解答するのはあんた達。

815 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 13:58:48.56
>>812の補足。
各対象についてコンポーネントへの割り当てを行う関数が自然変換だから
対応とか関数という言葉をつかっている。

816 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 14:13:37.64
>>814
問題の出題じゃなくて、自然変換のイメージを掴む方法の助言でしたよね?

817 :795:2012/04/29(日) 14:21:43.40
>>816
だから自力で例を探すのがイメージを掴むのにいい。
演習問題というのは理解を深めるためにある。

818 :795:2012/04/29(日) 14:34:07.94
よくある自然変換の例は線型空間の2重双対に関するもの。
あとポントリャーギン双対もこの例と並んでよく挙げられる。
あと群のアーベル化に関する奴もよく例に挙げられ。

819 :795:2012/04/29(日) 14:37:26.16
MacLaneの本では行列式 det を自然変換の例に挙げてた。


820 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 14:41:50.00
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821 :795:2012/04/29(日) 14:45:17.94
群の準同型は関手と見なされる。
このときこの関手間の自然変換は何だ?



822 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 14:45:53.66
自然変換でないものを挙げるほうが難しい?

823 :795:2012/04/29(日) 14:47:06.43
群の線型表現は関手と見なされる。
このときこの関手間の自然変換は何?

824 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 14:53:14.32
最近活発なんだな

825 :795:2012/04/29(日) 14:53:56.41
ある位相空間上の前層は関手と見なされる。
このときこの前層の間の自然変換は何?


826 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 15:42:58.94
米田埋め込みとHerbrandモデルには何か関係があるか説明キボーン!

827 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 15:45:12.52
>>820
参考までに教えてほしいが、最近、 Ann.of Math って圏論のトピック載ってる?
最近、圏論の論文は物理系の論文誌ばっかりヒットするのだが

828 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 20:53:34.25
>>823
intertwiner(繁絡)だったか。繁絡はよく知らない。
ほかもわからん。

>>809の答えは
θB(a) = F(a)u ただし、a ∈ hom(A,B)
これがθB:hom(A,B) -> F(B)の具体的表示で米田の補題の結果。

829 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 20:55:32.26
誰も答えないから自分で答えちまったよ。

830 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 20:58:52.62
>>812 はクラスをよく理解してないから大きな圏についてはそれほど自信ない。

831 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 21:17:27.89
とりあえず、キャズムは超えた。もう少しだよ〜。

832 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 21:48:22.91
>>830
案外wおもしろい人だった。もっと居てくれ。

833 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 22:07:08.07
ああ、そういうのいらないです。

834 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 22:35:32.16
>>829
自然変換 θ ∈ Nat(hom(A,-),F)、u ∈ F(A)とする。
hom(A,A)={1,g,h}、hom(A,B)=Φのとき、自然変換θのコンポーネントθAと
θBの具体的表示はそれぞれどのように書ける?

835 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 22:46:41.11
そうそうそういうの。
θA(a) = F(a)u, ただし a ∈ hom(A,A)
θBについては自信ない。
f ∈ hom(A,B)となるfが存在しないので、θBについては定義されない、かな。

836 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 22:47:58.72
もしくは空集合から空集合への恒等射。

837 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 22:56:55.22
いやいや、hom(A,A)={1,g,h}と言ったんだが?
つまり、元の圏には、A->Aの射として、1,g,hがあるという条件。aはない。
書き方がおかしい?

838 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 22:58:27.48
なお、1A ∈ hom(A,A)の場合
θA(1A) = F(1A)u = 1F(A)u = u で、
θA(1A) = uとわかる。
1F(A)はわかりにくいけど、F(A)の恒等射な。

839 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 22:59:41.19
前後した、変数扱いでaとしただけなんでgでもhでも置き換えてくれ。

840 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:00:56.28
ああ悪かった。aは可変なんだね。

841 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:01:35.05
ようするに、F(A) = {u,F(g)u,F(h),u}となる。

842 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:04:10.21
安直にいうと、各対象Bについてhom(A,B)の要素というのは
ドメインがAの射のことなので、任意のf ∈ hom(A,B)に対して
f = f・1A
とできる。普遍要素uというのはこの分解した時の1Aの変換したもののことだ。


843 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:11:35.29
つまり、
hom(A,A) = {1A , g, h} = {1A, g・1A, h・1A }
  ↓θB
F(A) = { u, F(g)u, F(h)u }
となる。
θBというのは、(分解した)各射について
1 1Aをuに変換
2 gやhに関手の射関数を適用
するということだ。


844 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:11:49.92
>>836
hom(A,B)=Φだが,hom(C,B)={f}で、しかし,hom(A,C)=Φのときは?

845 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:14:35.59
θBの変換で不明なのは1Aの行き先つまり(普遍)要素uが
F(A)の具体的にどれなのかということだけだ。
つまり”普遍要素さえきまれば自然変換が完全に定まる”=>米田の補題
Nat(hom(A,-),F) と F(A)の間に全単射が存在する、となるわけだ。

846 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:16:41.88
>>844
hom(C,B)はこの場合の対象じゃない。

847 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:19:27.78
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848 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:20:52.20
>>841
F(A) ⊃ {u,F(g)u,F(h)u} かな?

>>842
それはそうだ。

>>843
射gg,gh. hg, hh, ...はどうなる?

849 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:22:30.59
ごめんAとBを間違えてた
θBのところはθAな。

850 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:26:30.98
>>848
1 F(A) ⊃ {u,F(g)u,F(h)u} かどうか
Fは表現可能関手になる気がするもんで=にしたんだが、証明がわからん。
3 gg,gh,hg,hhの場合
どれもそもそもhom(A,A)の要素になるので同じ。

851 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:33:49.83
証明はわからんが、普遍要素の存在と表現可能関手は等価らしいし=でいいはず。
逆向きのNat(F,hom(A,-)に関する定理があればもっといいんだが。

852 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:34:14.85
>>850
3 ということは、少なくとも、F(A) ⊃ {u,F(g)u,F(h)u,F(g)F(g)u,F(g)F(h)u,...}
だね?
1 Fは任意の関手C->Dなんじゃないの?

853 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:39:00.35
>>846
ここ分かってないんだ。
じゃー、元の圏にある対象CやC->Bの射はどう表現されるの?
ほったらかし?

854 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:40:25.67
3 いや、そもそも巡回群みたくggg=1Aとかhg=1Aとかの条件付けがhom(A,A)の要素として
成り立たないといけないので、それはどちらかというとhom(A,A)の要素とは?という問題だということ。
1 うーん。そうなんだが、普遍要素があるので、表現を構成できるはず(ここはわからん)なんだ。
そうなれば表現可能関手でhom(A,-)とFは自然同型になるだろう、と。


855 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:42:41.04
>>853
確かにそこの詰めは甘いんだ。しばし待て。

856 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:47:40.67
>>854
3 巡回群みたくなる必要ある?
F(A)は無限集合でもよいし、{u,F(g)u,F(h)u,F(g)F(g)u,F(g)F(h)u,...}
の方が実は巡回群的かもしれないし。

857 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 23:49:48.39
>>855
大変すまんが、明日があるんで今日はここで失礼する。
今日は相手してくれてありがとう。

858 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 00:02:17.63
>>856
確かにそのとおりだ。無限集合でもいいな。

俺も明日以降にするわ。

859 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 07:14:51.81
お前ら米田の補題のどこが分からない?
難しく考えすぎだろ。

860 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 08:19:15.46
hom(A,B) = Φ、hom(A,C) = Φでhom(B,C) = {f} の場合がわからない。
要は対象として空集合が絡んでくるとき。
上の場合は、hom(A,f) : hom(A,B) -> hom(A,C)は空集合から空集合への射で
空集合はSetsの始対象なので、どのようなhom(B,C)の要素でも空集合の恒等射になる、だな。

861 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 08:29:16.34
すなわち、hom(A,B)、hom(A,C)は同型で、F(B)=F(C)=Φにもなるはずなので、
θB=θCも空集合の恒等射か。

862 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 08:31:02.25
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863 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 08:44:29.69
>>860
お前らの問題点が分かった。
集合論の基礎がよく分かってない。
集合とクラスの違いも分からないみたいだし、
族と集合の違いも分からないみたいだからな。
例えば数列は集合じゃない。

864 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 08:55:49.04
関数を集合とみなすならば、数列は集合。

865 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 09:00:38.84
>>864
そういうことを言ってるんじゃなくて
数列とその値域は違うという意味。
空気読め。


866 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 09:05:18.82
2chはいろいろな奴がいるから何か言うにも
完璧に誤解の無いように言わないと>>864のように
突っ込まれるなw


867 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 09:07:37.12
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868 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/04/30(月) 09:39:21.27
>>865
空気読む奴は馬鹿。全て論理的に記述するべし。




869 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 09:39:29.29
>>865
>集合とクラスの違い
>数列とその値域は違う
そういうのは分かってる。それでどうした。本題に入ってくれ。
hom(B,C) = {f} のようにAから隔絶した射はどう処置されるんだ?
空集合の恒等射になっちまうなら、fらしさは無視されてしまう気がするんだが。

870 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 09:50:47.13
>>868
なんで?
論理的に説明しろ

871 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:02:16.12
>>869
分かってたら>>810が間違いとわかるはず。
因みに f らしさってなんだよ。
空集合になんでこだわる?
要素がないんだからそれを定義域とする写像は意味ない。
だから深く考える必要ない。


872 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:05:54.20
>>869
1 Aから隔絶した射について
hom(A,B)とhom(A,C)が空集合ではない場合ということだな。
その場合は、hom(A,B)の要素との合成を考えて、hom(A,C)について考えることにして処理する。
つまり、
g ∈ hom(A,B)として、 fについてhom(A,f) : hom(A,B) -> hom(A,C)となるので、
hom(A,f)g ∈ hom(A,C)
といえる。このhom(A,f)gという要素にfが反映される。

873 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:06:50.51
>>868
空気読まないと数学の論文は読めない。


874 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:09:09.07
空集合は始対象でドメインになるぞ。
あと、クラスと集合の違いをわかっていないというのはそのとおりだが、
自然変換は関数というか割り当てであることは間違いない。
わからんのはクラスの全要素なんて扱えるのか?というところで教えてくれ。

875 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:14:05.02
>>873を補足する。論文をよむとき既存の知識または
数学的常識を著者は暗黙に仮定している。
だからそれを補って読まないといけない。

876 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:14:19.24
族も確かにわかっていないが、添数集合としてクラスとれるのか?

877 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:19:16.14
>>874
空集合が定義域にならないとは言ってない。
深く考える必要ないといってる。

878 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:19:52.11
>>872
うん。それは分かる(直接的でないのがちょっと嫌だが)。
やっぱり、hom(A,B) = Φ、hom(A,C) = Φでhom(B,C) = {f} の場合がわからん。
>>860の答えでは、fの存在が反映されないと思うんだ。それでよいのか?

879 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:21:00.02
そう考えるよりほかない。始対象から始対象への射は恒等射だけだし。

880 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:23:17.36
>>876
やっぱり分かってないんじゃんw
空集合で悩んでるのも集合論をよく分かってないから。

881 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:24:26.90
空集合では悩んでないって。クラスの取り扱いに悩んでるので教えてくれ。

882 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:25:37.15
>>875
もちろんそうだが、その暗黙の仮定のところで質問がでたら明示的に
答えるのが常識だろう。(この場であんたにその義務があるとは言わんが)

883 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:32:42.40
ごっちゃになっているから整理すると
1自然変換の定義の問題
クラスを添数集合としてとれるのか?添数集合としてとれるなら自然変換は射の族でもおk。
2米田の補題の問題
Aから隔絶した射なり対象で漏れている部分があるかないか。

884 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:33:00.95
>>874
>クラスの全要素なんて扱えるのか
扱うって何のことを言ってる?
あんたならこんなこと知ってると思うが、単純に言って、
集合もクラスも、ものの「集まり」。
集合は、矛盾を引き起こさないように制限された集まり
クラスは、なんでもかんでも入れられるので、矛盾を引き起こす可能性のあるものの集まり
だよね。

885 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:35:33.92
>>881
悩んでないなら>>860は出てこない。

886 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:38:36.75
何を言っているのかというと、クラスCに対して∀a ∈ Cが使えるかどうかということだ。
クラスに内包とかあるのか?

887 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:40:51.34
>>885
集合論というか始対象となることで結論出してるからわかってないといわれりゃそうかもしれん。
ていうか、だったら教えてくれよ。

888 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:45:17.06
>>887
なぜ空集合は始対象?
写像の定義を理解してれば分かる。

889 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:47:59.84
>>886
使えないと自然変換は定義出来ない。

890 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:48:39.21
>>886
>クラスCに対して∀a ∈ Cが使えるか
ふつうに使えるよ。

集合とクラスは、
t:集合、P(a):論理式 としたとき、
s = { a∈t | P(a) } は集合
s = { a | P(a) } (∈tという抑えがない)がクラス
というだけの違いだよね(正確には田中尚夫など)

>クラスに内包とかあるのか
内包ってここのP(a)のことかな?

891 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:53:31.33
そうか使えるのか。あんがと、調べてみるわ。
空集合が始対象になるのは恥ずかしながら覚えていただけですぐ出てこない。いつか。

892 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:55:57.65
>>889
できないと困るからできる、という論法かw
ちゃんと答えてやれよ

893 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 10:59:59.11
>>891
いつかじゃねえよw
集合論では写像はグラフで定義される。
つまり直積集合のある種の部分集合。
定義域が空集合だとこの直積集合は空集合だ。

894 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 11:02:44.44
>>892
俺はここで集合論の講義をするつもりはない。
あんたが代わりに答えてやれ。

895 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 11:09:36.91
集合論よく分かってないのに圏論は早いと思うぞ。
それから圏論の前に群、環、体とか位相幾何の初歩とか
やっておくべき。

896 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 11:24:07.69
結局、米田の補題って、いろんな圏も集合圏に還元できることとそのための
機械的手順を言ったものなのか?

897 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 11:32:31.81
集合の圏での射は包含関係を含んでるだろ?
空集合は全ての集合に含まれるってだけの事を勿体ぶってどうする?

898 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 11:43:19.01
>>897
誰に言ってる?

899 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 11:50:09.14

米田レンマの本質的意味って何ですか?

900 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 11:51:41.15
>>897
まず包含写像が存在すること
次に包含写像以外の写像が存在しないことを証明してくれ。

901 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 11:59:40.58
>>899
それは高次元トポスとGrothefieckのモチーフ理論を
結び付ける触媒であること。

902 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 12:17:07.32
>>901
高次元トポスって何ですか?
詳しい文献あれば教えてください。

903 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 12:20:24.92
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904 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 12:31:29.99

高次元圏にも米田のレンマってあるんですか?

905 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 13:24:46.43
>>897
>集合の圏での射は包含関係を含んでるだろ?
どういう意味だ?

906 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 13:29:17.48
>>895
きみの言うことはつまらん。
>>901
きみの言うことは難しいよ。
>>904
圏なんだから、あるに決まっとる。

907 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 13:55:52.18

高次元トポスとモチーフってどう結びつくんですか?

908 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 14:02:46.95
>>906
つまらなくても早いのが遅くはならない。

難しいと冗談にマジレスされてもw
口からでまかせにの無意味な戯言なんだが。

だからそれを集合論で証明してみろ。

909 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 14:34:42.82
>>896
米田の補題。
やりたいのは、一般の圏を集合圏にそのまま写すこと。
それは、対象を集合に、射を写像に写せばすぐできそうだが、そうはいかない。
異なる射を区別できるように各集合の要素をどうとるかが考えどころ。しかし
それは難しくない。機械的手順がある。これがエッセンス。

910 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 14:40:49.49
一般の圏を集合圏に写すというのは、アーベリアンカテゴリーが
アーベル群のカテゴリーに埋め込めるみたいな話?

911 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 15:17:11.95
>>899
本質的ってどういうことを求めてる?

912 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 15:26:34.28
>>911
表現論的な意味とかあるのかなと思いまして

913 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 15:33:14.08
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914 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 16:15:21.83
>>909
集合圏じゃなくて集合圏に値を取る関手のなす圏。

915 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 16:18:28.96
>>912
圏の埋め込みだからそれは一種の表現だろ。
それ以上の意味はない。

916 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 16:36:30.47
米田の埋め込み以外の埋め込みってないんですか?
埋め込みを何回も繰り返すってことはできますか?

917 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 17:28:40.87
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918 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 18:10:38.81
>>914
元の圏を固定して考えれば(ふつうそうするだろう)両者は同一視できる。
そして集合圏で考えた方が分かり易い。そもそもそのために集合圏に写すのだから。
こういうことも形式的な定義を大人しくフォローするだけでは分からんだろう。

919 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 18:32:59.30
>>918
両者って何と何?

920 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 18:45:57.92
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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921 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 18:47:32.57
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922 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 19:06:50.21
>>919
集合圏と、集合圏に値を取る関手

923 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 19:10:25.02
>>922
はあ?
どうやって同一視する?
両者は圏同値じゃない

924 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 19:20:36.10
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925 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 20:18:22.65
>>919 >>923
言い直す。>>909では、関手K:C->Sets を「一般の圏を集合圏に写す」と
言ったのだが、これはおかしいか?

926 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 20:23:49.73
>>893
おお、なるほど。集合論だと空集合をドメインとする射は恒等射のただ一つだけか。
でもやっぱ本格的にはいつかだわ。一日にいくつも難しいこと処理できるほど処理能力高くないので。

わかんないときは、学習するんじゃなくて、個人的にはとりあえず睡眠時間取るといいぞ。

927 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 20:25:58.09
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928 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 20:28:53.27
>>925
おかしい。
米田の埋め込み定理は C^o -> Nat(C, Sets)
ここで C^o は双対圏

929 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 20:33:13.07
>>928は間違えた。
C^o -> Func(C, Sets)


930 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 20:36:21.58
Func(C, Sets) は集合じゃないの?

931 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 21:02:40.18
C^o -> Func(C, Sets)
= C^o -> (C -> Sets)
= (C^o × C) -> Sets





932 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 21:03:33.76
>>930
集合じゃなく圏

933 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 21:06:45.27
>>932
いわゆる関手圏ですね。

>>931
なんか内積に似てない?

934 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 21:14:27.95
>>931
それは2変数の関手としてのHomじゃん。
米田の埋め込み定理はそれとは違う。
無関係じゃあないが。

935 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 23:18:03.91
>>934
だから、Hom(A,-):C->Sets なので、>>925はあれでいいだろ?
>>925ではここのHom(A,-)をKと書いたのだが。

>米田の埋め込み定理はそれとは違う
これがよく分からんが、俺は米田の埋め込み定理そのものを、どこでも
式で書いてはいないよ。

936 :118:2012/05/01(火) 05:53:25.85
>>935
式で書いてなくても言葉で書いてるだろ。
米田の補題でやりたいのは圏を集合圏にそのまま写すことと。

937 :118:2012/05/01(火) 06:02:26.53
>>130
俺のレベルも知らないくせにw
猫がもしそう思ってるならと書いてるだろ。
仮定の話だ。

938 :118:2012/05/01(火) 06:05:13.64
>>937
スレ違いw

939 :132人目の素数さん:2012/05/01(火) 07:30:10.87
>>936
>米田の補題でやりたいのは圏を集合圏にそのまま写すことと。
だからこのどこが違うんだ。

940 :132人目の素数さん:2012/05/01(火) 08:17:34.77
>>939
>>914を読め

941 :132人目の素数さん:2012/05/01(火) 09:02:53.88
ループだな。

C -> Sets
圏を、集合圏に
圏を、集合圏に値を取る関手のなす圏

今度はあんたが米田を日本語で説明してみて。
数式をそのまま読むんじゃなくてな。

942 :132人目の素数さん:2012/05/01(火) 09:14:41.76
>>941
米田の埋め込み定理とは
任意の圏の双対圏はその圏から集合圏に値をとる関手全体のなす圏に埋め込める、
つまりその充満部分圏と同一視出来るということを主張する定理。

943 :132人目の素数さん:2012/05/01(火) 09:16:41.01
>>941
あんたがもの分かり悪いからループする。

944 :132人目の素数さん:2012/05/01(火) 11:00:51.48
>>942
もうこれで止めとくが、あんたのは間違いではないし丁寧だが、やっぱり
数式をそのまま読んでるに近いな。
まず「双対圏」は単に技術的操作なので削った方がよい。次に「充満部分圏と
同一視うんぬん」も削れるし削った方がよい。そうするとだいぶん簡素になる。
あとは問題の箇所だが、あんたのは長々しいが、まあf(a)=b の場合、
a固定なら、f≒bだろ(埋め込みと埋め込みの像の同一視は知ってるよね)。
このように修正すれば、ずいぶん短くなるし易しくなるだろ。

945 :132人目の素数さん:2012/05/01(火) 11:13:56.96
>>944
米田の補題を使って同一視出来るのは
C^o と Func(C, Sets) のある部分圏。
集合圏 Sets の部分圏じゃない。

946 :132人目の素数さん:2012/05/01(火) 11:27:55.73
>>944
双対圏が単に技術的だから削っほうがいいって、
削ったら間違った主張になるだろ。

947 :132人目の素数さん:2012/05/02(水) 10:15:38.44
話おわりましたかw

で、米田のレンマって、圏についての議論は、
集合論の言葉(集合と写像)を使っても同じ
ことができるという事につながるのですか?

入門者の質問ですみません。

948 :132人目の素数さん:2012/05/02(水) 10:39:08.28
>>947
Func(C, Sets) は Sets の性質を反映するから
C より扱いやすい場合が多い。
Func(C, Sets) において例えばファイバー積は
Setsにおけるファイバー積を C の対象毎に
とることで得られる。

949 :132人目の素数さん:2012/05/02(水) 10:57:20.93
>>948
ということは、私の質問に対する答えは
Yesと理解していいのでしょうか?

950 :132人目の素数さん:2012/05/02(水) 11:42:53.63
>>949
質問が明確じゃないが Noだろ。
Sets と Func(C, Sets) は違うから。
C が Sets に埋め込めるなら Yes だが
一般的には埋め込めない。
因みに C が Sets に埋め込めるどうかを
判定するのは必ずしもトリビアルでない。
例えばホモトピー圏は Sets に埋め込めないことを
証明するのはそれほど簡単じゃない。

951 :132人目の素数さん:2012/05/02(水) 12:16:54.25
先にされていたお話と関係するようですね。
あれはさっぱりわからなかったので自分が知りたかった
ことを質問しました。
今回も全く分からなかったのでもうちょっと勉強します。
(と思うのですが、抽象地獄に落ちて方向性すら見えません)
すみません。

952 :132人目の素数さん:2012/05/02(水) 12:22:51.52
>>951
向いていないから素朴集合論をやりなさい

953 :132人目の素数さん:2012/05/02(水) 12:47:14.79
向いてないんじゃなくて数学の基礎的知識が不足してるだけだろ。
数学科の1、2年程度の知識がないと話にならない。

954 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 12:01:08.04
米田レンマの一般化にはどんなものがあるんですか?

955 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 12:59:43.69
>>954
enriched categoryとか高次圏でそれぞれ米田の補題が拡張される。


956 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 13:12:00.35
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957 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 13:45:49.01
集合論->圏論->...。次は何が来るのですか?

958 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 13:46:49.98
考えついたもん勝ち。

959 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 13:49:33.14
グロタン以降、圏論の応用によってなされた発見(再発見は除く)にはどんなものがありますか?

960 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 13:53:14.35
>>958
考えつこうとしている人はいるのですか?
そういう人は圏論のどこが不満なのですか?

961 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 14:00:51.33
多重圏と高次圏を複合させたものは何と呼ばれていますか?

962 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 14:01:59.11
多重圏って何?

963 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 14:06:54.29
>>959
2chで質問するよりstack exchange とかmathoverflowで
聞いたほうがいい。
英語で質問出来ないなら英語の勉強が先決だな。

964 :KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 :2012/05/03(木) 14:07:10.97
次は graph theory.
函数の変数と値の関係を示す graph のことではない.

965 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 14:24:16.48
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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966 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 15:05:00.97
集合論→圏論→園→デリヴァトゥール

967 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 15:07:05.96
>>964
退行にみえますが?

968 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 15:36:32.24
>>962
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~tjst/doc/tjst/983-ncat-ct.pdf

969 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 16:08:55.98
この人は数学を見ていて生命は見ていないような気がする。

970 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 17:14:58.78
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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971 :132人目の素数さん:2012/05/03(木) 20:07:23.34
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        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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972 :132人目の素数さん:2012/05/05(土) 11:45:10.78
米田さんて計算機科学の人だっけ?

973 :132人目の素数さん:2012/05/05(土) 12:04:34.55
代数。
計算機科学なんてなかった頃の人。

974 :132人目の素数さん:2012/05/05(土) 12:05:26.18
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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975 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 12:12:30.50
こんな定理を見たのですが、これはここで議論されていた米田のレンマと何か(どんな)関係があるのでしょうか?
<定理>射の集合をもつどんな圏も、集合を対象とし、関数を射とする或る圏と同型である。

976 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 12:16:41.47
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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977 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 12:19:31.52
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978 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 12:25:24.89
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979 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 12:32:46.63
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980 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 13:40:04.22
>>975
その証明は自明だから米田も何も使わない。
英語版のwikipediaのconcrete categoryに説明がある。



981 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 13:50:36.43
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982 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 14:33:08.74
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     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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983 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 14:47:28.58
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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984 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 15:06:18.92
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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985 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 15:06:40.16
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986 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 15:06:57.26
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987 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 15:07:49.67
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988 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 15:08:04.29
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989 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 15:08:22.33
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990 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 15:08:37.02
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991 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 15:08:53.84
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992 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 15:09:10.05
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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993 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 19:40:30.99
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        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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994 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 19:41:00.00
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995 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 19:41:20.55
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996 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 19:41:43.37
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997 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 19:42:13.79
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998 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 19:43:03.95
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999 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 19:43:25.33
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1000 :132人目の素数さん:2012/05/08(火) 19:43:47.00
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